Tratando de entender un resultado de D. Rider (Trans. AMS, 1973) me he atascado en un lema que utiliza. En un momento dado da un paso sin comentario ni explicación, pero no veo por qué funciona.
He aquí una paráfrasis de lo que creo que afirma. Dejemos que $d_1,\dots, d_n$ sean números complejos de módulo $1$ ; deja que $b_1,\dots, b_n$ sean números complejos de módulo $\leq 1$ . (En la aplicación prevista los números $b_1,\dots, b_n$ son en realidad las entradas diagonales de un unitario $n\times n$ matriz, pero tengo la firme sospecha de que no se utiliza en el argumento). A continuación, Rider parece afirmar, sin más comentarios, que $$ \left\vert\sum_{j=1}^n (d_jb_j-1)\right\vert^{1/2} \leq \left\vert\sum_{j=1}^n (d_j-1)\right\vert^{1/2} + \left\vert\sum_{j=1}^n (b_j-1)\right\vert^{1/2} $$
Probablemente estoy siendo denso, y no he visto una estimación rutinaria que haga el trabajo. Si alguien puede ayudarme a entenderlo, sería de gran ayuda, ya que esto está empezando a ser muy irritante, y ni siquiera es la parte principal del argumento de Rider.
Actualización En primer lugar, gracias a todos los que han respondido, pero en particular a Will Jagy por varios intercambios fuera de la EMSE, y a George Lowther por su elegante argumento (la parte clave en la que no había pensado, era el uso de $\rm Re$ y su linealidad en lugar de $\vert\cdot\vert$ y su subaditividad, lo que permite potenciar la observación realizada por Gerry Myerson).
En caso de que sea de interés, aquí hay algunos detalles más sobre cómo la pregunta que hice corresponde al Lemma 5.1 en el documento de Rider. El artículo trata de los polinomios trigonométricos centrales en grupos compactos, es decir: combinaciones lineales de trazas de representaciones irreducibles. Parafraseado a la ligera, y con un paso de reducción bastante trivial, el citado lema dice lo siguiente:
Dejemos que $\phi: G \to U(n)$ sea una representación unitaria (irreducible) de un grupo (compacto) $G$ . Si $$\vert n^{-1}\operatorname{\rm Tr}\phi(g_i)-z_i\vert \leq \delta_i \qquad(i=1,\dots, p)$$ donde $\vert z_i\vert=1$ para todos $i$ entonces $$ \left\vert n^{-1}\operatorname{Tr}\phi(g_1\dotsb g_n) - \prod_{i=1}^p z_i \right\vert \leq \left(\sum_{i=1}^p \delta_i^{1/2}\right)^2 $$
La prueba dada en el documento es la siguiente: reducir al caso $p=2$ (si se puede hacer esto, la inducción hará el resto); entonces observe que WLOG $\phi(g_1)$ es un diagonal matriz unitaria, con una base adecuada. Si dejamos que $d_1,\dots, d_n$ sean las entradas diagonales de $\phi(g_1)$ y $b_1,\dots, b_n$ sean los de $\phi(g_2)$ entonces la traza de $\phi(g_1g_2)$ es sólo $\sum_{i=1}^n d_ib_i$ y por lo tanto tenemos que demostrar
Reclamación. Si $|z_1|=|z_2|=1$ , $\left\vert\sum_{i=1}^n (d_i - z_1)\right\vert\leq n\delta_1$ y $\left\vert\sum_{i=1}^n (b_i - z_2)\right\vert\leq n\delta_2$ entonces $$\left\vert \sum_{i=1}^n (d_ib_i - z_1z_2) \right\vert \leq n(\delta_1^{1/2}+\delta_2^{1/2})^2. $$
Este es donde Rider se contenta con decir "hecho"; y es de esperar que esté claro que esto es equivalente a mi pregunta original.
