Intervalo de confianza en torno a un predictor

Question

Tengo una regresión logística como la siguiente: $\log \frac{p}{1-p} = \beta_0 + \beta_1x$ .

Busco un intervalo de confianza en torno a un valor de $x$ que correspondería a un valor específico de $p$ . Obviamente, encontrar el $x$ no es un problema, ya que $x = (\log \frac{p}{1-p} - \beta_0)/ \beta_1$ pero para un intervalo de confianza, incluso si asumo que el $x_{MLE} = (\log \frac{p}{1-p} - \hat\beta_0)/ \hat \beta_1$ tiene, aproximadamente, una distribución normal centrada en el valor verdadero - todavía necesito la varianza de esto.

Answer 1

Sí, así que creo que podríamos usar el $\delta$ -método aquí:

$$x(\beta_0, \beta_1) = \frac{\log \frac{p}{1-p} - \beta_0}{\beta_1} \\ x(\hat \beta_0, \hat \beta_1) \approx x(\beta_0, \beta_1) + \nabla x(\beta_0, \beta_1)^T(\hat{\boldsymbol \beta} - {\boldsymbol \beta}) \\ = \frac{\log \frac{p}{1-p} - \beta_0}{\beta_1} - \frac{\hat \beta_0 -\beta_0}{\beta_1} - \frac{\log \frac{p}{1-p} - \beta_0}{\beta_1^2}(\hat \beta_1 - \beta_1) \\ \mathbb V(x(\hat \beta_0, \hat \beta_1)) \approx \frac{\mathbb V(\hat \beta_0)}{\beta_1 ^2} + (\frac{\log \frac{p}{1-p} - \beta_0}{\beta_1^2})^2\mathbb V(\hat \beta_1) +2(\frac{1}{\beta_1})(\frac{\log \frac{p}{1-p} - \beta_0}{\beta_1^2})cov(\hat \beta_0, \hat \beta_1) $$

Y entonces tal vez estimar las derivadas por su versión de MLE (es decir, reemplazando ( $\beta_0, \beta_1$ ) con ( $\hat \beta_0, \hat \beta_1$ ).