$\{x\in [a,b] : f(x)<t\}$ es una unión contable de conjuntos cerrados

Question

Supongamos que tengo una secuencia $f_n \in C([a,b])$ y $\lim f_n=f$ en $[a,b]$ , entonces para todos los $t$ , $\{x\in [a,b] : f(x)<t\}$ es una unión contable de conjuntos cerrados.

Mi intento es mostrar que el límite $f$ también es continua, entonces $\{ x \in [a,b] : f(x)\leq t-1/n\} $ está cerrado. Y $\{x\in [a,b] : f(x)<t\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{ x \in [a,b] : f(x)\leq t-1/n\} $

Answer 1

$$ \{x \in [a,b] | f(x)<t\}=\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcup_{p=1}^{\infty} \left( \bigcap_{n=p}^{\infty} \{x \in [a,b]| f_n(x) \leq t-\frac{1}{k}\}\right).$$