Para demostrar que un subconjunto $D$ de $X$ es denso si es $\epsilon$ -red para cada $\epsilon>0$ .

Question

Para demostrar que un subconjunto $D$ de $X$ es denso en X si y sólo si es $\epsilon$ -red para cada $\epsilon>0$ .

Dejemos que $D$ ser denso en $X$ y $y \in X$ entonces existe una secuencia $(x_n)$ en $D$ tal que $d(x_n ,y ) \to 0$ . Es decir, $x_n \in B(y, \epsilon)$ para $n \geq N$ . Pero entonces $y \in B(x_N, \epsilon)$ . Así que $y$ se encuentra en algunos $B(x,\epsilon)$ con $x \in D$ .

¿Es correcta la prueba?

¿Pero cómo puedo hacer la otra parte? Por favor, ayuda.

Answer 1

Definición de $\varepsilon$ -net : En el espacio métrico $X$ un subconjunto $B$ tiene $\varepsilon$ -red $M_\varepsilon \subset X$ si para cualquier $b\in B$ tenemos $m\in M$ s.t. $$ d(m,b)<\varepsilon $$

(1) Si $D$ es denso, entonces es un $\varepsilon$ -red para $X$ (como has dicho).

(2) Si $D$ es un $\varepsilon$ -red para $X$ y cualquier $\varepsilon >0$ , para demostrar que $D$ es densa, debemos demostrar que existe una secuencia $x_n \in D$ para algunos fijos $x\in X$ s.t. $$ d(x_n,x)\rightarrow 0$$

Si $\varepsilon_n = \frac{1}{n}$ Entonces, como $D$ es $\varepsilon_n$ -red, existe $x_n\in D$ s.t. $$ d(x_n,x)< \frac{1}{n} $$ Claramente $x_n \rightarrow x$ . Así que $D$ es denso.