Racionalidad de cocientes GIT

Question

Recientemente he trabajado a través de la mayoría de la prueba de la racionalidad de los módulos de género 3 curvas, que parecía tener la siguiente estructura:

1. Cada nonhyperelliptic género 3 curva es un buen plano de cuarto grado.
2. El avión cuárticas formar un espacio proyectivo.
3. Aplicar GIT para este proyectiva del espacio y el $PGL(3)$ acción.
4. Demostrar que este cociente es racional.

He visto algo de estructura similar que los argumentos antes. Así que mi pregunta:

Cuando es un GIT cociente racional?

En particular, son los cocientes de $\mathbb{P}^n$ $PGL_k$ racional, en virtud de algunas hipótesis razonables?

¿Hay alguna naturales invariantes que son preservados por los cocientes (de nuevo, con condiciones razonables, o de la forma de arriba)?

Answer 1

Un útil de tipo general resultado es la "no-nombre lema' que indica que cuando una reductora grupo G actúa linealmente en dos vectorspaces V y W 'casi libremente" (esto es, el estabilizador subgrupo de un punto general es trivial), entonces el GIT-cocientes V/G y W/G se estable racional (es decir, V/G x C^m y W/G x C^m se birational para algunos m y n).

Btw. Katsylo utilizado en la racionalidad de género 3 curvas que usted ha mencionado.

C;principios, las siguientes implicaciones mantenga

racional ==> estable racional ==> unirational

y contraejemplos para las otras implicaciones de existir (Artin-Mumford por un unirational no de forma estable variedad racional y Colliot-Thelene, Sansuc y Swinnerton-Dyer para un no-racional de forma estable, racional).

En cuanto a PGL_n : aquí el 'canónica' ejemplo de un vectorspace tener una casi gratis PGL_n-acción es que las parejas de matrices de nxn bajo simultánea de la conjugación. Por lo tanto, por el NNL cualquier otra casi libre de GIT-cociente es estable racional.

Aquí el mejor resultado conocido es que cuando n se divide 420=2^2x3x5x7, a continuación, dichos coeficientes se estable racional. Para las parejas de matrices en la simultánea de la conjugación de la racionalidad es conocido por n<= 4, pero incluso para los casos n=5 y n=7, sólo de forma estable la racionalidad es conocido. 'Retractarse de la racionalidad' (mucho más débil que estable la racionalidad) es conocida por todos squarefree n por un resultado de David Saltman.

Answer 2

Hay una muy agradable (si un poco anticuado - es anterior a Katsylo del trabajo de M₃) de la encuesta de el problema por Dolgachev en la AG Bowdoin volumen. Aquí está la búsqueda de libros de google enlace.