¿El logaritmo de la función gaussiana es convexo o no convexo?

Question

Tengo una distribución gaussiana como $$P(x)=\frac {1}{\sqrt {2\pi}\sigma}e^{-\frac {(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$ Según mis conocimientos, $P(x)$ es una función no convexa intermedia de $x$ . Sin embargo, si lo asigno a $log$ espacio, ¿Se convierte en función convexa? Si es convexa, por favor demuestre que me ayuda. Gracias de antemano

Answer 1

Bueno, tenga en cuenta que $$ \log P(x)=\log\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right]-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}. $$

Se trata de una parábola orientada hacia abajo; su segunda derivada es $$ \frac{d^2}{dx^2}\left[\log P(x)\right]=-\frac{1}{\sigma^2}<0. $$

Answer 2

La función de densidad gaussiana es cuasicóncava pero no cóncava. Además, es logarítmica-cóncava porque log P(x) es esencialmente una función cuadrática negativa.