Triángulo de Pascal y Números Primos

Question

En los días en que estaba en la escuela secundaria desarrollé un gran interés por la teoría de números, específicamente los números primos y los números perfectos, solía quedarme despierto toda la noche con un montón de papeles de bocetos tratando de idear una fórmula para generar / probar números primos. Descubrí muchas cosas por mi cuenta, como que $p(p + 1)/2$ es un número perfecto cuando p es un número primo de Mersenne.

Estaba tan obsesionado en ese entonces que solía hacer cálculos mentales cuando estaba dormido, recuerdo que un día me desperté muy emocionado porque había descubierto que $2^p - 2 = 0 \pmod p$ cuando $p$ es primo, solo para descubrir unas semanas después que Pierre de Fermat tenía una idea similar, pero desafortunadamente no funcionaba para seudonúmeros primos. Estaba muy decepcionado en ese entonces y comencé a jugar con el triángulo de Pascal.

Blaise Pascal, Marin Mersenne y Pierre de Fermat eran contemporáneos y compartían pensamientos con cartas, de hecho, si lo piensas un poco, tanto la fórmula de los números primos de Mersenne como la prueba de primalidad de Fermat parecen estar relacionadas con las filas del triángulo de Pascal (la suma de todos los números en la fila $n$ es $2^n$ donde los primeros y últimos números son $1$, de ahí el $-1$ en la fórmula de Mersenne y $-1$ o $-2$ en las pruebas de primalidad).

Programé un generador de Triángulo de Pascal con PHP y HTML que resaltaba todos los números que eran múltiplos de un número específico y los resultados me sorprendieron, y hasta el día de hoy no sé por qué sucede esto y me gustaría mucho saber por qué. En lugar de intentar explicar, publicaré aquí las imágenes.

Ejemplo Compuesto:

Ejemplo Primo:

Creo que la diferencia [entre los casos primo y compuesto] es obvia, pero si estás confundido, simplemente dímelo e intentaré explicarlo un poco más...

¿Alguien me puede explicar por qué sucede esto?

Answer 1

No estoy convencido de que esto sea apropiado para MO, pero estoy publicando una respuesta porque lo que tendría que decir probablemente sería demasiado largo para un comentario.

Expanding on Reid’s comment. Yeah, el teorema de Lucas es agradable. El teorema de Lucas es uno de varios resultados combinatorios que se pueden pensar como "primeros pasos hacia los números p-ádicos." ¿Qué significa eso? Hay un valor absoluto "diferente" que puedes definir en los números racionales, que tiene muchas de las mismas propiedades que el valor absoluto común, pero de otras maneras se comporta de manera totalmente diferente. De hecho, ¡hay un número infinito de estos chicos, uno para cada primo $p$! Se llama el valor absoluto p-ádico y puedes leer sobre él en Wikipedia.

Lo que hacen los números p-ádicos es ayudarte a sortear el siguiente obstáculo: Digamos que quieres saber si un cociente de dos números, $\frac{a}{b}$, es divisible por $p$. (Por ahora asumiremos que $\frac{a}{b}$ es definitivamente un número entero, aunque al final resulta que esto no importa en absoluto. Pero la "divisibilidad" es una noción más complicada para los no enteros). Si $a$ es divisible por $p$ y $b$ no lo es, entonces es obvio que $\frac{a}{b}$ lo es; si $a$ no es divisible por $p$, entonces, por supuesto, $\frac{a}{b}$ tampoco lo es. Pero las cosas se complican si tanto $a$ como $b$ son divisibles por $p$; podría darse el caso de que $a$ sea divisible por $p^2$ y $b$ no, o que $a$ sea divisible por $p^{17}$ y $b$ sea divisible por $p^{14} pero no por $p^{15}$. ¡Ves lo confuso que podría ser! El valor absoluto p-ádico codifica este tipo de información para ti.

Esto también explica por qué no trabajamos con, por ejemplo, números 10-ádicos en matemáticas; es porque si tomas los enteros pero consideras que dos enteros son iguales si tienen el mismo resto cuando divides por $n$, aún puedes multiplicar y sumar y restar perfectamente bien. Así que obtienes algo llamado un anillo. Y si $n$ es primo, ¡también puedes dividir números! (Bueno, no puedes dividir por 0, o por un múltiplo del primo, lo cual es "lo mismo que" 0. Pero esto es cierto sin importar qué, así que no es un problema real). Pero esto no es cierto para los números compuestos.

De todos modos, los patrones para los números primos en el triángulo de Pascal son bastante conocidos. Busca "triángulo de Pascal módulo" en Google (probablemente sin comillas) para encontrar más información. Los números compuestos no se comportan tan bien, por las razones que Wikipedia y yo mencionamos brevemente, pero las potencias de los números primos sí tienen patrones interesantes, que puedes leer en el documento maravillosamente titulado "El cerebro de Zaphod Beeblebrox y la quincuagésima novena fila del triángulo de Pascal".

¡Espero que esto ayude!

Answer 2

El caso módulo 2 está relacionado con el triángulo de Sierpinski.

Answer 3

Al considerar la divisibilidad de los coeficientes binomiales es muy instructivo observar también los coeficientes binomiales q.

Los coeficientes q-bimonales son polinomios en q definido por la fórmula ${{\textstyle a} \choose {\textstyle b}}_q = \frac{{\textstyle a}\underset{\textstyle .}q}{{\textstyle b}\underset{\textstyle .}q{\textstyle (a-b)}\underset{\textstyle .}q}$ ,
donde ${\textstyle n}\underset{\textstyle .}{\scriptstyle q}:=(1-q)(1-q^2)(1-q^3)\ldots (1-q^n)$ denota el q -factorial. Satisfacen ${{\textstyle a} \choose {\textstyle b}}_q | _ { q = 1 } = {{\textstyle a} \choose {\textstyle b}}$ .
El símbolo es una "q" con un punto debajo, para recordar el símbolo "!". Quizá no sea la notación más estándar, pero me parece irresistiblemente bonita. Véase aquí para una exposición más detallada, con anotaciones algo más estándar.

Al igual que los números enteros se pueden factorizar en primos, los polinomios se pueden factorizar en polinomios irreducibles. Los polinomios que aparecen en la factorización de los coeficientes del binomio cuántico son los llamados polinomios ciclotómicos φ _n ( q ), de los cuales hay uno por cada número natural n . Para su problema, el hecho relevante sobre los polinomios ciclotómicos es que φ _n (1) es fácil de calcular. Es p cuando n \= p a para algún número primo p y es 1 en caso contrario. Así que si tienes una factorización de algún coeficiente de binomio q en polinomios ciclotómicos se puede deducir la factorización en números primos de los correspondientes coeficientes de binomios usuales enchufando q \=0.

Ahora, a diferencia de los coeficientes binomiales habituales, la factorización del coeficiente q-bimonal no tiene multiplicidad: ¡no hay exponentes! Además, es mucho más fácil determinar cuándo φ _n divide ${{\textstyle a} \choose {\textstyle b}}$ que sucede si y sólo si (resto de b modulo n ) + (resto de ( a -1) modulo n ) + 1 < n . Esta última condición corresponde a un patrón de triángulos mucho más regular que las imágenes que has publicado anteriormente. La imagen se obtiene superponiendo los distintos patrones que acabo de describir.

Answer 4

Una cuasipartícula es una excitación colectiva elemental no local de un medio cuántico (como un cristal); ejemplos son los fonones (que describen las ondas sonoras) o los pares de Cooper (que describen la superconductividad). En cambio, una partícula es (en el contexto de la física de altas energías) la excitación elemental de un campo cuántico local; ejemplos de ello son el electrón o el fotón.

En el modelo estándar, el Higgs se modela como un campo local, por lo tanto es una partícula, pero hay escenarios alternativos, en los que el Higgs no se construye en la teoría como un campo, sino que emerge como una excitación colectiva y, por lo tanto, es una cuasipartición. Para distinguir entre estos escenarios se necesitan datos experimentales que aún no existen.

Answer 5

Se ve que algunas personas ya han encontrado respuestas mejores, así que solo mencionaré rápidamente que tal vez te guste resolver problemas en ProjectEuler.net, ya que algunos problemas son de este estilo de pensamiento.

Para uno de los problemas me inventé la siguiente manera de determinar cuántas veces p divide M elegir N:

M!/(N!*(M-N)!)
K(M,p)-K(N,p)-K(M-N,p)
Donde K(X,p) es el número de veces que p divide X! y es igual a:
K(X,p)=Piso(X/p)+Piso(X/p^2)+Piso(X/p^3)+...

(Explicación rápida: Incluso para cada p^2 debajo de X hay dos factores de p añadidos al producto, pero uno ya fue contado en Piso(X/p), así que solo sumamos el extra por el nuevo poder de p)

Probablemente no sea algo original, pero fue divertido inventarlo.

Dan