Encuentre el valor mínimo de $x+y+z.$

Question

Dejemos que $x,y,z$ son no negativos tales que $(x - y)(y - z)(z - x) \geq 1.$ Encuentre el valor mínimo de $x+y+z.$

Answer 1

Claramente, dos entre $x-y, y-z, z-x$ debe ser negativo. WLOG dejar $a=x-y, b=z-y$ sean números positivos. Entonces $a(-b)(b-a) \ge 1 \iff a^2b \ge ab^2+1$ y necesitamos el mínimo de $a+b+3y$ . Obviamente, es una buena idea establecer $y =0$ entonces nos queda minimizar $a+b$ . $$a^2b-b^2a-1 \ge 0 \iff a \ge \frac{b^2+\sqrt{b^4+4b}}{2b}$$

Así que minimizamos $a+b =\frac32b+ \dfrac{\sqrt{b^4+4b}}{2b}$ que por cálculo y algo de álgebra da $b = \sqrt[3]{\frac{3\sqrt3-5}2}$ .

Por lo tanto tenemos el mínimo (después de algo más de álgebra y ayuda de @Semiclásico) como $\sqrt[3]2 \sqrt3$ .