¿Cuál es el anillo de enteros del campo pitagórico?

Question

Siguiendo a Hilbert, llamamos números complejos constructibles a través de brújula y regla al campo de los números euclídeos, y a los números totalmente reales tales como el campo de números pitagóricos. (Entre otras posibles definiciones, un número algebraico es totalmente real si su polinomio minimal tiene todas raíces reales). Para una referencia, Richard Alperin da una descripción de estos y campos relacionados desde un punto de vista de constructibilidad en su artículo "Triseciones y Origami Totalmente Reales".

Existe una caracterización extraordinariamente agradable de los números pitagóricos -- el campo pitagórico es el campo más pequeño que contiene a los racionales y está cerrado bajo la operación $x\rightarrow \sqrt{1+x^2}$. O, desde un punto de vista ligeramente diferente, es el cierre pitagórico de $\mathbb{Q}$, en el sentido de

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Debido a que es una introducción "práctica" a este campo, permítame incluir en la pregunta el comentario de Daniel Litt de abajo de que como $\sqrt{2}=\sqrt{1+1^2}$, y $\sqrt{3}=\sqrt{1+\sqrt{2}^2}$, y así sucesivamente, el campo pitagórico contiene $\sqrt{n}$ para todo $n\geq 0$, y por lo tanto contiene el compositum de todos los campos cuadráticos reales.

Mi Pregunta:

¿Cuál es el anillo de enteros del campo pitagórico?

Observa que la conjetura más ingenua de que sea el subanillo más pequeño de enteros algebraicos cerrado bajo la operación $x\rightarrow \sqrt{1+x^2}$ es incorrecta -- este anillo no incluye a $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, que ciertamente es un entero algebraico euclidiano totalmente real. Sospecho/espero (aunque esto podría ser simplemente la segunda conjetura más ingenua) que hay alguna descripción de la forma "subanillo más pequeño de los enteros algebraicos cerrado bajo $x\rightarrow \sqrt{1+x^2}$ y división por 2 cuando ciertas condiciones se cumplen". He hecho una pequeña investigación bibliográfica sobre los anillos de enteros de extensiones multicuadráticas totalmente reales de $\mathbb{Q}$, pero no he encontrado nada que remotamente inspire algo de esta forma.

No tengo mucho que ofrecer en términos de motivación, excepto que me he encontrado con una variedad de anillos de enteros en mi investigación, y estoy tratando de decidir si alguno de ellos es exactamente el anillo de enteros pitagóricos. Sería agradable poder compararlos con los enteros pitagóricos simplemente viendo si alguno de estos anillos satisface ciertas operaciones de cierre.

Answer 1

La primera idea que intenté analizar fue reemplazar la iteración por $$ x \mapsto x' = \frac{1 + \sqrt{1+4x^2}}{2}, $$ lo cual elimina el problema con $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$; por otro lado, no puedo ver que, por ejemplo, el elemento integral $\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ pertenezca al anillo generado por esta iteración.

Modificando este enfoque podemos eliminar todos los contraejemplos obvios. Definimos $v_0 = 2$ y $$ v_1 = \sqrt{2}, v_2 = \sqrt{2+\sqrt{2}}, ...., v_{n+1} = \sqrt{2+v_n}, ... . $$ Dado un entero algebraico $x$ en el anillo pitagórico, sea $v(x)$ el producto "máximo" de elementos $v_i$ que dividen tanto a $2$ como a $x$ (supongo que una prueba de la existencia de $v(x)$ no es demasiado difícil; Krull, Herbrand y Scholz estudiaron la aritmética en estos "campos numéricos infinitos" en la década de 1930, y sus métodos deberían ser suficientes). Entonces la iteración $$ x \mapsto x' = \frac{1+x + \sqrt{1+x^2}}{v(x)} $$ envía enteros algebraicos a enteros algebraicos, y este mapeo tiene al menos una oportunidad de generar el anillo de todos los enteros en el campo pitagórico.