¿Existe esa función analítica?

Question

Consideremos la siguiente región en el plano complejo $$ R=\{re^{i\theta}:r>0, 0<\theta<\gamma<\frac{\pi}{2}\} $$ Entonces, ¿existe una función $f(z)$ que es analítico en $R$ y continua hasta la frontera, de manera que tenemos las siguientes estimaciones en la frontera $$ cr^a\leq|f(r)|\leq Cr^a,~ r>0, $$ para alguna constante positiva $a, c, C$ y también $$ |f(re^{i\gamma})|\leq C,~ r>0 ? $$

En particular, me preguntaba si un formulario como $z^{g(z)}h(z)$ con alguna opción de $g(z),h(z)$ funcionaría.

Gracias de antemano.

**Edición:**Gracias a Julián Aguirr, que proporcionó un ejemplo bonito y sencillo. Sin embargo, más tarde descubrí que la función que buscaba debía estar acotada sólo en el límite superior de la región $R$ y sin límites (se comporta también como $r^a$ cerca de $\infty$ ) en $R$ . Se agradece mucho que alguien lo señale. Gracias de nuevo.

Answer 1

Dejemos que $f(z)=e^{iz}z^a$ , $a>0$ . Entonces $$ |f(r)|=r^a,\quad r>0, $$ y $$ |f(re^{i\gamma})|=r^ae^{-r\sin\gamma}\le \Bigl(\frac{a}{\sin\gamma}\Bigr)^ae^{-a},\quad r>0. $$