$vv^TA-Avv^T$ donde $A$ es simétrica y $vv^T$ es el rango uno

Question

Supongamos que tengo lo siguiente:

$$vv^TA-Avv^T$$

1. $v\in \mathbb{R}^{n}$ con $\|v\|_2=1$ Así que $vv^T$ es PSD, rango uno y $\operatorname{tr}(vv^T)=1$
2. $A$ es simétrica a la inclinación

¿Hay alguna propiedad o condición agradable que pueda utilizar para simplificarla?

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Intento buscar algunos problemas relacionados:

1. Rango de la matriz asimétrica

   • Incluso lo es.

O

1. ¿Cuándo es conmutativa la multiplicación de matrices?

   • simultáneamente diagonalizable

¿Hay alguna más cercana a mi pregunta?

Answer 1

Dejemos que $u=-Av/\|Av\|_2$ . Entonces su matriz se convierte en $S=\|Av\|_2(vu^T+uv^T)$ . Como $A$ es simétrica, $u\perp v$ . Por lo tanto, $u+v$ y $u-v$ son vectores propios de $S$ correspondiente a los valores propios $\|Av\|_2$ y $-\|Av\|_2$ respectivamente, y $S$ es ortogonalmente similar a $\|Av\|_2\operatorname{diag}(1,-1,0,\ldots,0)$ .