Sólo porque comúnmente escribimos ${^n\mathsf C_k}$ para representar el recuento de formas de elegir $k$ elementos de un conjunto de $n$ no significa que tengamos que utilizar siempre $n$ y $k$ para el número de elementos a elegir y el tamaño del conjunto, respectivamente. Podemos contar las formas de elegir $i$ elementos de un conjunto de $j$ como: ${^i\mathsf C_j}$ . Asimismo, ${^{k+3}\mathsf C_{n-2}}$ representa el recuento de formas de elegir $n-2$ elementos de un conjunto de $k+3$ .
No se obsesione con el $k$ , $n$ , r, $\zeta$ o lo que sea. Son sólo símbolos que asignamos a las variables en los problemas. Aunque vemos la tendencia a utilizar ciertos símbolos en situaciones similares, no hay un significado absolutamente fijo hasta que les damos uno.
Lo importante es: En el símbolo de selección, el tamaño de la fuente de selección va en la posición superior, y el tamaño de la selección va en la inferior. Cualquier símbolo que se utilice para representar su tamaño. $${^{\lvert\text{source}\rvert}\mathsf C_{\lvert\text{selection}\rvert}}$$
En este problema hay $k$ partículas indistinguibles y $n$ cajas distintas. Podríamos representar esto como $k$ estrellas y $n-1$ barras. Colocar las partículas en las casillas equivale a colocar barras entre las estrellas, es decir, seleccionar $n-1$ de $k+n-1$ espacios, colocando barras en ellos y estrellas en los restantes $k$ espacios.
Considere $\bbox[yellow,1pt,border:solid 0.1pt]{\star\star\star|\star\star|\star\star\star|~|\star|~}$ como representación de una forma de colocar nueve partículas en seis cajas.
Hay ${^{k+n-1}\mathsf C_{n-1}}$ distintas formas de elegir $n-1$ espacios de la $k+n-1$ disponible.
Que también puede escribirse como: $\dbinom {k+n-1}{n-1}$
