Demostrar que todas las raíces de $\sum_{r=1}^{70} \frac{1}{x-r} =\frac{5}{4} $ son reales

Question

Demostrar que todas las raíces de $$\displaystyle \sum_{r=1}^{70} \dfrac{1}{x-r} =\dfrac{5}{4} $$

son reales

Me encontré con esta pregunta en mi prueba semanal. Traté de establecimiento $\displaystyle \sum_{r=1}^{70} \dfrac{1}{x-r} = \dfrac{P'(x)}{P(x)} $ ; en caso de $\displaystyle P(x) = \prod_{r=1}^{70} (x-r)$, y trató de utilizar algunos de desigualdad, pero fue en vano.

Podemos generalizar este?

Encontrar la condición que

$$\displaystyle \sum_{r=1}^{n} \dfrac{1}{x-r} = a $$

tiene todas las raíces reales.

$n\in \mathbb{Z^+} \ ; \ a\in \mathbb{R}$

Answer 1

Alternativamente: supongamos que la función tiene un complejo de raíz; lo llaman $x+iy$; $y\neq 0$.

A continuación, $$\sum_{r=1}^{70}\frac{1}{x-r+iy}=\frac{5}{4}$$

multiplicar por el conjugado para obtener

$$\sum_{r=1}^{70}\frac{x-r-iy}{(x-r)^2+y^2}=\frac{5}{4}$$

lo que implica

$$\operatorname{Im}\left( \sum_{r=1}^{70}\frac{x-r-iy}{(x-r)^2+y^2} \right)=0$$ o $$\sum_{r=1}^{70}\frac{-y}{(x-r)^2+y^2}=0$$ lo cual es una contradicción ya que cada término tiene el mismo signo y es distinto de cero.

Answer 2

Sugerencia: tenga en cuenta que la derivada de la izquierda lado, cuando existe, es negativo. Así que nuestra función es decreciente en un intervalo de $(k,k+1)$ donde $1\le k\le 70-1$.

En este intervalo, nuestra función es muy grande positivo al $x$ es un poquito más grande que el de $k$, y muy negativo al $x$ es un poco menor que $k+1$. Así que por el Teorema del Valor Intermedio nuestra ecuación tiene una raíz entre el$k$$k+1$.