Es $G_i$ normal en $G_k$ ?

Question

Un grupo G se llama soluble si tiene una serie subnormal cuyos grupos factoriales (grupos cotizantes) son todos abelianos, es decir, si hay subgrupos {1} = $G_0 < G_1 < < G_k = G$ tal que $G_{j 1}$ es normal en $G_j$ y $G_j/G_{j 1}$ es un grupo abeliano, para $j = 1, 2, …, k$ .

Pregunta : Es $G_i$ normal en $G_k$ para $i \ge 2$ ?

Answer 1

No necesariamente. Considere $$\{e\}\trianglelefteq\{e,(12)(34)\}\trianglelefteq \{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}\trianglelefteq A_4$$ $G_1$ no es normal en $A_4$ . Se puede extender esta secuencia por la izquierda tomando el producto directo con un grupo abeliano apropiado $H$ : a saber, $$\{0\}\times G_0\trianglelefteq 3\Bbb Z/6\Bbb Z\times G_0\trianglelefteq \Bbb Z/6\Bbb Z\times G_0\trianglelefteq\Bbb Z/6\Bbb Z\times G_1 \trianglelefteq\ \Bbb Z/6\Bbb Z\times G_2\trianglelefteq \Bbb Z/6\Bbb Z\times A_4$$ En la nueva secuencia, $\widetilde G_3\not\trianglelefteq \widetilde G_5$ .