Resolución de la ecuación con el proceso de Wiener

Question

Quiero demostrar que si $E(f(X_{t}))=E(f(W_{t})e^{\lambda W_{t}-0.5*\lambda^2*t})$ , donde $W_{t}$ es un Proceso Wiener, entonces $X_{t}\sim N(\lambda t,t)$ . ¿Alguien tiene alguna idea de cómo resolver este problema?

Answer 1

Dejemos que $f:\mathbb R \to \mathbb R^{+}$ sea $x \mapsto e^{\theta x}$ . Entonces, como $W_t\sim N(0,t)$ la relación dada implica $\mathbb E[e^{\theta X_t}] = \mathbb E [e^{(\theta + \lambda) W_t}] e^{-\frac{1}{2} \lambda^2 t} = e^{\frac{1}{2}\theta^2 t + \theta \lambda t}$ la función generadora de momentos para una variable aleatoria distribuida como $N(\lambda t, t)$ .