Dejemos que $k$ sea un campo contable y que $x$ sea una indeterminada sobre $k$ . Tengo dificultades para probar $$\operatorname{card} k((x)) = \operatorname{card}\mathbb R.$$ Gracias.
Respuesta
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Cuando su campo es $\mathbb{Z}_{2}$ Definir una biyección entre $k[[x]]$ y el conjunto de números entre 0 y 1 que sólo pueden tener 0 y 1 como dígitos. Para otros campos debe ser más cuidadoso. Si por ejemplo su campo es algo como $\mathbb{C}$ se puede ver fácilmente que como $$k[[x]]\cong\prod_{i\in\mathbb{N}\cup\{0\}}k$$ por lo que su cardinal es de nuevo $|\mathbb{R}|=c$ . Para los campos cuyo cardinal es menor que $c$ . Como se puede definir una función uno a uno de $\mathbb{Z}_2[[x]]$ a $k[[x]]$ y una función uno a uno de $k[[x]]$ a $\mathbb{C}[[x]]$ , por lo que tiene $c=|\mathbb{Z}_2[[x]]|\leq|k[[x]]|\leq|\mathbb{C}[[x]]|=c$ y por lo tanto $|k[[x]]|=c$ . Y ahora como usted asumió que $k$ es contable por lo que su cardinal es menor que $c$ y el problema está resuelto.
Ahora presta atención a que $k[[x]]\subset k((x))$ y puedes mirar $k((x))$ como un subconjunto de $k[[x]]\times k[[x]]$ así que $c\leq|k((x))|\leq c^2=c$ .
