Demostrar que existe N ∈ (N) (naturales) tal que $a_n$ > 0 para todo n ≥ N.

Question

Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia convergente. Supongamos que $\lim_{n\to\infty} a_n > 0$ . Utilice la definición de límite para demostrar que existe N (N) (naturales) tal que $a_n$ > 0 para todo n N.

Utilizar la definición de un límite ( $|a_nL|<$ ).

Por favor, compruebe mi prueba.

Mi prueba:

Dejemos que $\epsilon$ sea un número positivo arbitrario. Sea L = $\lim_{n\to\infty} a_n > 0$ . Elija N (N) (naturales) tal que n N implica que $|a_NL|<\frac{\epsilon}{2}$ por definición de un límite. Supongamos que n N. Por lo tanto, $|2a_N2L|=|2(a_NL)|=|2||a_N-L|<\frac{\epsilon}{2}*2=\epsilon$ . Dado que L > 0, $a_n$ > 0.

Answer 1

Creo que tu prueba no es del todo correcta. En su lugar, intenta ampliar un poco la definición de límite. La clave será escoger algún $\varepsilon >0$ que es estrictamente menor que el límite $L$ , digamos que $\varepsilon = \frac{L}{2}$ (podemos hacerlo porque $L$ es positivo). Ahora, observe que existe $N\in \mathbb{N}$ tal que para todo $n\geq N$ tenemos $$\lvert a_n - L\rvert < \varepsilon \iff - \varepsilon < a_n - L < \varepsilon.$$ Añadiendo $L$ resultados en $$L-\varepsilon < a_n < L + \varepsilon.$$ Desde que elegimos nuestro $\varepsilon = \frac{L}{2}$ tenemos $$L-\varepsilon = L - \frac{L}{2} = \frac{L}{2} > 0,$$ porque $L>0$ . Por lo tanto, $0< a_n$ para todos $n\geq N$ según sea necesario.

Answer 2

Creo que casi tienes la idea - el único problema es que nunca defines $\varepsilon$ y más tarde se asumen cosas sobre ella; en particular, se comienza con $$|a_N - L | <\varepsilon /2$$ para luego concluir que $$a_N > 0$$ de esto - pero esto no se deduce de lo que has escrito, que implica que $\varepsilon$ podría ser elegido para ser cualquier número positivo - y elegido antes incluso de inspeccionar el límite $L$ o la secuencia $a_n$ . Tal vez esté acostumbrado a comenzar las pruebas de análisis de esta manera, ya que la mayoría de las pruebas de que una secuencia converge comienzan dejando $\varepsilon$ ser un número positivo arbitrario - pero no es apropiado aquí.

Más bien, sólo eliminaría $\varepsilon$ y sustituir sus apariciones por, digamos, $L$ . Como ejemplo:

Dejemos que $L=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ . Utilizando la definición de límite y el hecho de que $L>0$ podemos elegir $N\in\mathbb N$ de manera que si $n\geq N$ entonces $|a_n - L| < L$ . Esto implica que $L-a_n < L$ y por lo tanto que $a_n>0$ .

Donde también he simplificado parte del álgebra - aunque el álgebra no es lo importante. Tenga en cuenta que aquí estamos haciendo referencia a la definición de un límite:

Si $L=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ , entonces para cada $\varepsilon>0$ existe algún $N\in\mathbb N$ de manera que si $n\geq N$ entonces $|L-a_n|<\varepsilon$ .

A continuación, suministramos algún valor particular de $\varepsilon$ a utilizar - en este caso, utilizamos $L$ . Básicamente, si quieres probar que existe un límite, hay que escribir una prueba que funcione para todos $\varepsilon > 0$ . Si ya conozca que existe un límite, puede utilizarlo eligiendo algún $\varepsilon$ que funcione en su caso, y elegir $\varepsilon = L$ da la existencia de unos $N$ que funciona para su prueba.

Es posible que su idea fuera imaginar, en su prueba, que $\varepsilon$ será realmente pequeño (ya que somos libres de elegirlo como lo que queramos) - y el hecho de que $a_n$ se mantiene arbitrariamente cerca de $L$ después de algún tiempo implicaría que $a_n$ es positivo. Sin embargo, para capturar esta intuición formalmente, es necesario elegir algún radio particular alrededor de $L$ donde todos los valores son positivos.