¿Cuántos primos gemelos son de la forma $2^n-1$ y $2^n+1$ ?

Question

El primer par es $(3,5)$ para $n=2$ . ¿Hay algún otro par además de este?

Answer 1

No, no hay más. Un número de la forma $2^n-1$ sólo puede ser primo si $n$ es primo (aunque hay primos $n$ que no funciona, como $n = 11$ Así que $2^{11}-1$ no es primo), mientras que un número de la forma $2^n+1$ sólo puede ser primo si $n$ es una potencia de $2$ (de nuevo, hay potencias de dos que no funcionan, como $32$ Así que $2^{2^{5}} + 1$ no es primo). Estas dos nociones coinciden sólo para $n = 2$ .

Pruebas:
Dejemos que $n$ sea un número compuesto, por ejemplo $n = pq$ para algunos $p, q\geq 2$ . Entonces tenemos $$ 2^n-1 = 2^{pq}-1 = (2^p-1)(2^{(q-1)p} + 2^{(q-2)p} + \cdots + 2^p + 1) $$ El hecho de que esté compuesto se deduce de $p, q\geq 2$ lo que hace que los dos factores anteriores sean mayores que $1$ .

Si $n$ no es un poder de $2$ entonces $n = 2^mk$ donde $k\geq 3$ es impar y $m\geq 0$ . Esto nos da $$ 2^n + 1 = 2^{2^mk} + 1 = (2^{2^m} + 1)(2^{2^m(k-1)} - 2^{2^m(k-2)} + 2^{2^m(k-3)} - \cdots - 2^{2^m} + 1) $$ que es necesariamente compuesto, de nuevo porque $k\geq 3$ por lo que ambos factores son mayores que $1$ ( $k$ ser impar es exactamente lo que hace que las señales funcionen para que usted obtenga $+1$ y no $-1$ al final).

Answer 2

Para los primos de Fermat, necesitamos $n$ para ser un poder de $2$ para los primos de Mersenne, necesitamos $n$ primo. El único candidato común posible se da para $n=2$ .

Answer 3

Hay otra prueba que es similar a la prueba de que no hay triples primos que no sean $3,5,7:$

Tenga en cuenta que uno de los $k,k+1,k+2$ es divisible por $3.$ Considere $k=2^n-1.$ Claramente $k+1$ no es divisible por $3$ desde $k+1=2^n$ es una potencia de $2.$ Así que $2^n-1$ o $2^n+1$ debe ser divisible por $3.$