Necesito ayuda para demostrar que $3\mid(14^{2n} - 1)$ para todo n = 0, 1, 2, 3, ...

Question

Llevo bastante tiempo atascado en esta prueba matemática.

Hasta ahora he intentado utilizar el algoritmo de la división para demostrar el teorema dejando que

$n = 3 \times q + r\ |\ q \epsilon N$

Esto me da tres casos diferentes para los valores de n.

(i) $n = 3 \times q + 0$

(ii) $n = 3 \times q + 1$

(iii) $n = 3 \times q + 2$

Básicamente lo que estoy pensando ahora es que si puedo demostrar que los tres casos son divisibles por 3 entonces $(14^{2n}-1)$ debe ser divisible por todo n = 0, 1, 2, 3, ...

Así que intento demostrar el teorema para el caso (i)

$14^{3\times q \times 2}-1 = 14^{6 \times q} - 1$

Ahora estoy atascado. ¿Qué pasos puedo dar para demostrar que esto es divisible por 3?

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Para $n=0$ tenemos $14^{2n}-1=0$ y $13$ divide $0$ . Para $n\ge 1$ $$\begin{align*} 14^{2n}-1&=\left( 14^2\right)^n-1\\ &=(14^2-1)\left[(14^2)^{n-1}+(14^2)^{n-2}+\ldots+14^2+1\right]\\ &=(14-1)(14+1)\left[(14^2)^{n-1}+(14^2)^{n-2}+\ldots+14^2+1\right]\\ &=13(14+1)\left[(14^2)^{n-1}+(14^2)^{n-2}+\ldots+14^2+1\right] \end{align*}$$ Así que $13$ divide $14^{2n}-1$ .

Answer 2

$14=2$ mod 3 implica $14^2=14^{2n}=1$ mod 3. Deducimos que $14^{2n}-1=0$ mod 3.

Answer 3

$14\equiv-1\mod 3$ y $14^{\color{red}2n}\equiv\bigl( (-1)^2\bigr)^n=1$ .

Answer 4

Si un cuadrado $a^2$ no es un múltiplo de $3$ entonces $a^2-1$ es.

Sí, es cierto, $a^2-1=(a+1)(a-1)$ . Exactamente uno de los números $a-1$ , $a$ , $a+1$ es un múltiplo de $3$ y el resultado es el siguiente.