Cualquier tensor de segundo orden en una base determinada puede expresarse como una matriz. Además, como cualquier tensor de segundo orden puede expresarse como un producto tensorial de dos tensores (o vectores) de primer orden, me gustaría encontrar $u$ y $v$ que satisfagan: $$u \otimes v = \left[ { \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right] $$
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Khushi
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Tenemos una correspondencia
$$\begin{pmatrix}\color{Magenta}{a} \\ \color{Magenta}{b} \\ \color{Magenta}{c}\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}\color{Blue}{x} & \color{Blue}{y} & \color{Blue}{z}\end{pmatrix} \quad\longleftrightarrow\quad\begin{pmatrix} \color{Magenta}{a} \color{Blue}{x} & \color{Magenta}{a} \color{Blue}{y} & \color{Magenta}{a} \color{Blue}{z} \\ \color{Magenta}{b} \color{Blue}{x} & \color{Magenta}{b} \color{Blue}{y} & \color{Magenta}{b} \color{Blue}{z} \\ \color{Magenta}{c} \color{Blue}{x} & \color{Magenta}{c} \color{Blue}{y} & \color{Magenta}{c} \color{Blue}{z} \end{pmatrix} $$
Como puede ver, cada columna es un múltiplo del vector de columnas rosa (por $x$ , $y$ y $x$ respectivamente) y cada fila es un múltiplo del vector de filas azul (por $a$ , $b$ y $c$ respectivamente). Como las columnas y filas de la matriz son linealmente dependientes, la matriz es siempre singular.
Si $U$ y $V$ son dos espacios vectoriales, $U\otimes V$ contiene elementos de la forma $u\otimes v$ pero estos elementos (tensores puros) no son cerrados bajo la adición; hay sumas de tensores puros que no pueden ser "factorizadas" en la forma de un solo tensor puro. El espacio $U\otimes V$ es el span de tensores puros.
Si ${\cal B}_U$ y ${\cal B}_V$ son bases de $U$ y $V$ respectivamente, entonces los tensores puros $u\otimes v$ ( $u\in U, v\in V$ ) forman una base para $U\otimes V$ . En particular $e_i\otimes e_j$ ¿a qué matrices corresponde? Ahora intenta escribir la identidad $3\times3$ como una combinación lineal de ellas.
