¿Se trata de una relación transitiva en las distribuciones de probabilidad?

Question

Digamos que para dos distribuciones independientes $X,Y$ , defino que $X \triangleleft Y$ significa $P(X > Y) < P(X < Y)$ .

¿Esta relación es transitiva? Es decir, si $X \triangleleft Y$ y $Y \triangleleft Z$ entonces $X \triangleleft Z$ ?

Mi instinto es que no lo es y que hay un contraejemplo bastante obvio de distribuciones discretas. Pero no se me ocurre.

Answer 1

Dejemos que $X=0$ con probabilidad $1$ . Sea $Y=1$ con probabilidad $p$ y $-2$ con probabilidad $1-p$ . Sea $Z=2$ con probabilidad $q$ y $-1$ con probabilidad $1-q$ .

Entonces $X\triangleleft Y\,$ si $p>\frac12$ , $Y\triangleleft Z$ si $q+(1-q)(1-p)>\frac12$ y $Z\triangleleft X$ si $q<\frac12$ , por lo que para obtener un contraejemplo basta con elegir $p,q\in[0,1]$ para que el sistema

$$\begin{cases} p>\frac12&\\ q+(1-q)(1-p)>\frac12&\\ q<\frac12& \end{cases}$$

de desigualdades se satisface. Esto no es difícil; incluso se puede tener $p+q=1$ Si lo desea.

Answer 2

Dejemos que $X$ sea uniforme en el conjunto $\{1, 6, 8\}$ , dejemos que $Y$ sea uniforme en el conjunto $\{2, 4, 9\}$ y que $Z$ sea uniforme en el conjunto $\{3, 5, 7\}$ donde estas tres variables aleatorias son independientes. Entonces $P(Y>X) = P(Z>Y) = P(X>Z) = 5/9$ Así que $X \triangleleft Y \triangleleft Z \triangleleft X$ . Este es un ejemplo de dados no transitivos .

Answer 3

Estos son monedas no transitivas de manera que cada moneda tenga el mismo par de probabilidades $p, 1-p$ para sus dos lados, que se etiquetan a partir del conjunto $\{1,2,3,4,5,6\}$ :

        Side with probability 
Coin          p      1-p
----         ---     ---
  X           2       6
  Y           3       4
  Z           5       1

Porque $P(X < Y) = P(Y < Z) = p$ y $P(Z < X) = 1-p^2$ se deduce de $p = 1-p^2$ que $p$ debe ser el "pequeño" proporción áurea $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.6180$ .

NB : Esto puede verse como una mejora de la respuesta de Brian Scott, modificada para utilizar un conjunto de enteros positivos consecutivos, y para que las monedas sean igualmente "parciales". (Fue una mera coincidencia que asignara números primos a las caras con probabilidad $p$ y no primos a los lados opuestos, y también que la proporción áurea resulta estar involucrada).