Para definir un mapa de contracción, necesitamos una métrica, pero los espacios métricos finitos son necesariamente discretos. En particular, entonces, si $X$ es un conjunto finito con más de un punto, y si $d$ es una métrica en $X,$ entonces existen distintos $x_0,y_0\in X$ tal que $$d(x_0,y_0)=\min\{d(x,y)\mid x,y\in X,x\ne y\}.$$ Para que $f:X\to X$ para ser un mapa de contracción, entonces, tendríamos $$d\bigl(f(x_0),f(y_0)\bigr)<d(x_0,y_0),$$ para que $d\bigl(f(x_0),f(y_0)\bigr)=0,$ y así $f(x_0)=f(y_0)$ .
Si (como sospecho) tu definición de mapa de contracción de la autosimilitud requiere un mapa de contracción inyectivo, entonces se deduce que los espacios métricos finitos no son autosimilares, a menos que estén vacíos o sean singletons.
Añadido : Si no necesitas que tus mapas de contracción sean inyectivos, entonces es bastante sencillo definir un mapa de contracción apropiado, métrico y no trivial, en un conjunto finito de cualquier tamaño. Te dejaré los casos de vacío y de un solo individuo. Supongamos que $X$ es un $n$ -para un conjunto finito de elementos $n>1,$ decir con elementos $x_1,\ldots,x_n.$ A continuación, defina una métrica $\rho$ sur $X$ por $$\rho(x_k,x_m)=\begin{cases}0 & \text{if }k=m\\\min\left(\frac1k,\frac1m\right) & \text{otherwise,}\end{cases}$$ y definir $f:X\to X$ por $f(x_k)=x_{k+1}$ para $1\le k\le n-1$ y $f(x_n)=x_n.$
Sin embargo, no todas las métricas lo permiten. La métrica discreta estándar viene dada por $$d(x,y)=\begin{cases}0 & \text{if }x=y\\1 & \text{otherwise,}\end{cases}$$ y los únicos mapas de contracción en $X$ (en lo que respecta a $d$ ) son los mapas constantes $X\to X.$ Estos mapas constantes serán, por supuesto, mapas de contracción independientemente de la métrica, pero serán inyectivos precisamente cuando el conjunto en cuestión tenga un punto como máximo.
Añadido : La definición de "no-surmorfismo" dada por Wikipedia es algo problemática, y depende de lo que se entienda por homomorfismo en este caso.
Lo primero que pensé al leer la definición es que se trata de una errata, y que se refiere a mapas no subjetivos $f_s:X\to X$ tal que $f_s$ es un homeomorfismo $X\to f_s(X)$ para cada $s\in S.$ Si este es el caso, entonces entre los espacios topológicos con conjuntos subyacentes finitos, sólo el espacio vacío es autosimilar de esta manera, ya que podemos simplemente permitir $S$ esté vacío en ese caso, mientras que si $X\ne\emptyset,$ cualquier función inyectiva $f:X\to X$ es necesariamente suryectiva, y no podemos permitir que $S$ para que esté vacía.
Si, por el contrario, se pretende indicar que cada $f_s:X\to X$ es ser una función continua no-surjetiva, entonces (como señaló Henning Makholm) la no-definición funciona para todos los espacios topológicos finitos excepto para los monotonos, ya que cualquier conjunto finito puede ser "cubierto" por un número finito de imágenes de automapas constantes (el conjunto vacío también está cubierto por una familia vacía de tales), que son necesariamente continuas (independientemente de la topología), y serán no subjetivas precisamente cuando el conjunto tenga más de un punto.
