Demostrar una desigualdad de suma por inducción: $\sum_{i=1}^n \frac{3}{4^i} < 1$

Question

Tenía problemas para probar por inducción este problema. $$\sum_{i=1}^n \frac{3}{4^i} < 1$$ para todos $n \geq 2$ Fui a ver a mi profesor y me dijo que intentara probar esta igualdad $$\sum_{i=1}^n \frac{3}{4^i} < 1 - 1/4^n $$ ¿De dónde sacó el $$1-(1/4^n)$$ de? ¿Cómo puedo demostrarlo? ¿Y sigue demostrando la misma desigualdad?

Answer 1

1. La desigualdad "mejorada" es errónea tal y como se indica, debería ser $\le$ (o incluso $=$ ) en lugar de $<$

2. Apenas se puede utilizar la inducción con la desigualdad original. Si sólo tienes $s_n<1$ no se puede concluir que $s_{n+1}<1$ porque siempre tienes $s_{n+1}>s_n$ . En otras palabras, necesitas que $s_n$ es suficientemente más pequeño que $1$ (y necesitan demostrar que $s_{n+1}$ no sólo es más pequeño, sino que suficientemente más pequeño que $1$ )

3. Es posible que obtenga el $1-1/4^n$ de ver las primeras sumas ( $\frac34$ , $\frac{15}{16}$ , $\frac{63}{64}$ ) y oler el patrón.

4. Resulta que el más estricto la desigualdad (o incluso la igualdad) es mucho más fácil para demostrarlo. La prueba por inducción es sencilla.

5. Desde $1-1/4^n<1$ también se obtiene el resultado originalmente deseado.