Integral indefinida con sector de elipse

Question

Una elipse viene dada por la siguiente ecuación: $$ 152 x^2 - 300 x y + 150 y^2 - 42 x + 40 y + 3 = 0 $$ Después de resolver el punto medio tenemos: $$ 152 (x-1/2)^2 - 300 (x-1/2) (y-11/30) + 150 (y-11/30)^2 = 1/6 $$ Introducción a las coordenadas polares: $$ x = 1/2 + r \cos(\theta) \quad ; \quad y = 11/30 + r \sin(\theta) $$ Dando: $$ 152\, r^2 \cos^2(\theta) - 300\, r^2\, \cos(\theta) \sin(\theta) + 150\, r^2 \sin^2(\theta) = 1/6 \quad \Longrightarrow \\ \frac{1}{2} r^2(\theta) = \frac{1/12} {152 \cos^2(\theta) - 300 \cos(\theta) \sin(\theta) + 150 \sin^2(\theta)} $$ El área de un sector de la elipse es: $$ \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{2} r^2(\theta) \, d\theta $$ Así que parece que tenemos que encontrar la integral indefinida: $$ \int \frac{1/12 \, d\theta} {152 \cos^2(\theta) - 300 \cos(\theta) \sin(\theta) + 150 \sin^2(\theta)} $$ Y entonces estoy atascado. Porque alimentar esto en MAPLE con

int(1/12/(152\*cos(theta)^2-300\*cos(theta)\*sin(theta)+150\*sin(theta)^2),theta);
para mi sorpresa, da una _complejo_ resultado: $$ {\\frac {1}{720}}\\,i\\sqrt {3}\\ln \\left( \\left( \\tan \\left( 1/2\\,\\theta \\right) \\right) ^{2}+ \\left( {\\frac {5}{38}}\\,i\\sqrt {3}+{\\frac {75} {38}} \\right) \\tan \\left( 1/2\\,\\theta \\right) -1 \\right) \\\\ -{\\frac {1}{720 }}\\,i\\sqrt {3}\\ln \\left( \\left( \\tan \\left( 1/2\\,\\theta \\right) \\right) ^{2}+ \\left( -{\\frac {5}{38}}\\,i\\sqrt {3}+{\\frac {75}{38}} \\right) \\tan \\left( 1/2\\,\\theta \\right) -1 \\right) $$ Pero estoy bastante seguro de que el área de un sector de la elipse es un número real. Así que la pregunta es: ¿existe una forma cerrada para la mencionada integral que sea de valor real en lugar de complejo? ¿Cuál es? ¿Y por qué ese resultado complejo con MAPLE?

AfterMath (ver respuesta aceptada)

$$ A = (1/2,3/10) \quad ; \quad B = (1/2,1/3) \quad ; \quad C = (1/2,11/30) \\ P = (1/3,1/6) \quad ; \quad Q = (2/3,1/2) \\ R = (1/4,1/10) \quad ; \quad S = (3/4,3/5) $$ Los bordes del triángulo son negros; la elipse es $\color{red}{red}$ .
Zonas triangulares: $\Delta PAQ = 1/180$ , $\Delta PRB = \Delta QSB = 1/720$ .
Es conjetura que el área del sector de la elipse $\overline{CRBSC}$ es exactamente $1/3$ del área total de la elipse;
siendo este último $ = \pi\sqrt{3}/180$ . ¿Puede alguien probar o refutar esta conjetura?

Answer 1

$$\int\frac{dx}{a\cos^2x-b\cos x\sin x+c\sin^2x}=\frac2{\sqrt\Delta}\cdot\tanh^{-1}\bigg(\frac{b-2c\tan x}{\sqrt\Delta}\bigg)$$ donde $\Delta=b^2-4ac$ . Si $\Delta<0$ , sólo tiene que utilizar Fórmula de Euler para transformar la arctangente hiperbólica de argumento complejo en una trigonométrica de argumento real. Para $\Delta=0\iff b=\pm2\sqrt{ac}$ ,

obtenemos $I=\dfrac{b+(a+c)\sin2x}{(a+c)\Big[(a-c)+(a+c)\cos2x\Big]}$ .

Answer 2

La integral es elemental. $$ I = \int \frac{d \theta} {a \cos^2(\theta) - b \cos(\theta) \sin(\theta) + c \sin^2(\theta)}= \int \frac{d \tan(\theta)} {a - b \tan(\theta) + c \tan^2(\theta)} $$ Dejemos que $u=\tan(\theta)$ Entonces: $$ I = \int \frac{d u}{c u^2 - b u + a} = \int \frac{d u/c}{\left[ u-b/(2c) \right]^2+a/c - \left[b/(2c)\right]^2}=\\ 2 \int \frac{d (2c u-b)}{(2c u-b)^2+(4ac-b^2)}= \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}} \int \frac{d\left[(2c u-b)/ \sqrt{4ac-b^2}\right]} {1+\left[(2c u-b)/\sqrt{4ac-b^2}\right]^2} $$ Ahora dejemos que $\Delta = \sqrt{4ac-b^2}$ y hemos terminado: $$ I(\;\tan(\theta)\;) = \frac{2}{\Delta} \arctan\left(\frac{2c\tan(\theta)-b}{\Delta}\right) $$ Rellene los números de nuestro sector: $a = 152\;,\;b = 300\;,\;c = 150$ , $\tan(\theta_2) = 16/15\;,\;\tan(\theta_1) = 14/15$ Recuerde que un $\arctan$ sólo se define para los argumentos $\in \left[-\pi/2,+\pi/2\right]$ y que toda el área de la elipse es igual a $\pi\sqrt{3}/180$ . Entonces: $$ \mbox{area} = \frac{\pi\sqrt{3}}{180}/2 - \left[\;I(16/15)-I(14/15)\;\right]/12 = \frac{\pi\sqrt{3}}{540} $$ Estableciendo así que la conjetura AfterMath es verdadera . Así que finalmente tenemos todos los ingredientes para calcular el área de la "elipse con sombrero" ( $\color{blue}{blue} + \color{red}{red} + \color{green}{green}$ ) : $$ \color{blue}{\pi\sqrt{3}/180(1-1/3)+1/120}+\color{red}{2/720}+\color{green}{1/180} = \frac{\pi\sqrt{3}}{270}+\frac{1}{60} $$