Mil ejercicios de probabilidad tercera edición sección 1.7 pregunta 6

Question

La pregunta es la siguiente:
Un grupo de $2b$ amigos se reúnen para una velada de bridge. Hay $m$ hombres y $2b m$ mujeres donde $2 m b$ . El grupo se divide en $b$ equipos de parejas, formados uniformemente al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna pareja esté formada por $2$ ¿los hombres?

El autor da la siguiente respuesta:
Hay ${2b \choose m}$ formas probables de asimilar los hombres a las parejas. El número de asignaciones sin pareja de hombres es $2^m{b \choose m}/{2b \choose m}$

Lo que me confundió :
En primer lugar, ¿cómo obtiene el autor el número de formas de asignar los hombres a las parejas es ${2b \choose m}$ ? Utilizando una simple prueba, parece incorrecto, por ejemplo, digamos que b = 2 y m = 2, entonces según la respuesta, tendríamos ${4 \choose 2}$ formas de asignar los hombres a las parejas que es 6. Sea $m_{a}$ y $m_{b}$ representan al macho a y al macho b, $f_{c}$ y $f_{d}$ representan a la hembra c y a la hembra d, entonces todas las formas posibles en que podemos asignar las parejas son: (1).( $m_{a}$ , $m_{b}$ ) y ( $f_{c}$ , $f_{d}$ ) (2).( $m_{a}$ , $f_{c}$ ) y ( $m_{b}$ , $f_{d}$ ) (3). ( $m_{a}$ , $f_{d}$ ) y ( $m_{b}$ , $f_{c}$ ) que en total son 3 vías en lugar de 6 vías.

Por lo tanto, me gustaría saber si la respuesta del ejemplo es correcta y, si es correcta, cómo derivar esta respuesta.

Answer 1

Sí, es correcto. El autor considera que las parejas están ordenadas y no les importa la identidad de las personas, sólo su género.

Piensa en todas las personas dispuestas en una línea lineal y las parejas están formadas por quienes están al lado (es decir, 1 y 2 es una pareja, 3 y 4 y así sucesivamente). A continuación, $ 2b \choose m$ es el número de formas de elegir los lugares para todos $m$ hombres en esta línea (pero no te importa dónde va Jack o Mark). El número ${b \choose m} 2^m$ es la forma de elegir los lugares para los hombres sin parejas de hombres: primero elegir las parejas donde colocar un hombre (esto da ${b \choose m}$ ) y luego a qué lugar de los dos se coloca el hombre ( $2^m$ ).

En tu ejemplo están los pares (sólo pones $m$ o $f$ no se indica la identidad de las personas)

• $(m, m)$ y $(f, f)$
• $(f, f)$ y $(m, m)$
• $(m, f)$ y $(m, f)$
• $(f, m)$ y $(m, f)$
• $(m, f)$ y $(f, m)$
• $(f, m)$ y $(f, m)$

Answer 2

La respuesta propuesta, interpretada como una probabilidad y no como un número de asignaciones, es correcta, pero la explicación es muy deficiente. En primer lugar, el autor debería precisar el método. Lo más natural en este caso es tomar como conjunto del que se extrae uniformemente un elemento el conjunto de particiones de $2b$ elementos en pares, cuyo conjunto tiene $\frac{(2b)!}{2^bb!}=\prod_{i=1}^b(2i-1)$ elementos, y esto no es en absoluto el denominador $\binom{2b}m$ utilizado en la fórmula dada.

Por lo tanto, se utiliza otro método que no es una selección uniforme de este conjunto. En lugar de ello, se realiza una selección uniforme de todos los $(2b)!$ permutaciones (que tampoco es ese denominador, pero al menos es un múltiplo del mismo), lo que se puede visualizar como sentando el $2b$ personas en un autobús con $b$ filas de $2$ plazas cada uno. (Al final no nos importan las permutaciones de las filas ni de las permutaciones dentro de cada fila, por lo que el número de emparejamientos es un cociente del $(2b)!$ asignación de asientos; sin embargo, elegir uniformemente una permutación lleva a elegir uniformemente un emparejamiento). Ahora el truco que se utiliza silenciosamente, es sentar primero al $m$ hombres, después de lo cual ya está claro si se forma alguna pareja de hombres; para un cálculo de probabilidades se puede ignorar el $(2b-m)!$ El resto de las asignaciones de las mujeres, ya que este número es el mismo independientemente de la asignación que se les dé a los hombres. Pero dado el set de asientos asignados al $m$ hombres también podemos determinar ya si se forma alguna pareja de hombres, por lo que también podemos dividir por el $m!$ permutaciones de los conjuntos en ese conjunto. Al final sólo elegimos $m$ asientos que deben ser ocupados por hombres entre los $2b$ asientos disponibles, y la elección de una asignación uniforme conduce a una elección uniforme entre estos $\binom{2b}m$ posibilidades.

Así que ahora nos toca contar entre los $\binom{2b}m$ subconjuntos de asientos, cuántos evitan tener alguna vez los dos asientos de una misma fila (aunque dicho subconjunto no determina en absoluto un emparejamiento real de los $2b$ amigos). El número de esas opciones puede encontrarse como el producto del número $\binom bm$ de elegir $m$ filas, y el número $2^m$ de formas de elegir un asiento para ser ocupado por un hombre entre en cada una de las filas elegidas. De esta manera se llega a la probabilidad dada de $\binom mb2^m/\binom{2b}m$ que es la respuesta correcta.

Mis sinceras disculpas feministas por centrarme en los hombres cuando son la minoría aquí. Pero este enfoque centrado en los hombres ya está presente en la pregunta y en la respuesta propuesta.