Solución débil en espacios de Banach.

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ Espacios de Banach. Sea $A:D(A)\subset X\to Y$ con $D(A)$ denso en $X$ y $y\in Y$ . Sea $x\in X$ una solución débil de $Ax=y$ es decir $(x,A^*y')=(y,y')$ para todos $y'\in Y^*$ donde $A^*:D(A^*)\subset Y^*\to X^*$ es el adjunto de $A$ . El dominio es $D(A^*)=\left\{y'\in Y^*:\exists x'\in X^*: y'(Ax)=x'(x)\forall x\in D(A)\right\}$

Pregunta 1 . Si $x\in D(A)$ entonces $Ax=y$ ?

Mi intento: $x\in X$ solución débil entonces $(x,A^*y')=(y,y')$ para todos $y'\in Y^*$ . El adjunto $A^*$ implica $(x,A^*y')=(Ax,y')$ para todos $x\in D(A),\, y'\in D(A^*)$ . Por lo tanto, $(Ax,y')=(y,y')$ para todos $x\in D(A),\, y'\in D(A^*)$ . Equivalente, $y'(Ax-y)=0$ para todos $x\in D(A),\, y'\in D(A^*)$ . De aquí se puede concluir que $Ax=y$ ?

Pregunta 2 . La definición de $x$ es una solución débil de una ecuación $Ax=y$ requiere que $x\in D(A)$ o no?

Answer 1

Para la primera pregunta A partir de la definición de operador adjunto, la definición de solución débil pasa a ser $(Ax,y’)=(y,y’)$ para todos $y’\in Y^*$ si $x\in D(A)$ . Por el teorema de Hahn Banach (o, digamos, porque la topología débil separa los puntos), $Ax=y$ .

Para la segunda pregunta, me imagino que la cuestión podría ser precisamente definir una solución incluso en el caso de que $x\not\in D(A)$ .