convergencia de una serie en el espacio de operadores lineales acotados

Question

Necesito ayuda para demostrarlo:

Si $X$ es un espacio de Banach y $T \in L(X,X)$ tienen $||T||<1$ . Utilice la integridad de $L(X,X)$ para demostrar que $\sum_{n=0}^{\infty}T^n$ converge en $L(X,X)$ . donde $L(X,X)$ es el espacio de los operadores lineales acotados.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Para cualquier número entero no negativo $m$ dejar

$S_m = \sum_{n = 0}^m T^n; \tag{1}$

demostraremos que la secuencia $S_m$ es Cauchy. Sea $k > l$ sean enteros no negativos. Entonces

$S_k - S_l = \sum_{n = l + 1}^k T^n = T^{l + 1} \sum_{n = 0}^{k - l - 1} T^n = T^{l + 1}S_{k - l -1}; \tag{2}$

así

$\Vert S_k - S_l \Vert = \Vert T^{l + 1}S_{k - l -1} \Vert \le \Vert T^{l + 1} \Vert \Vert S_{k - l -1} \Vert \le \Vert T \Vert^{l + 1} \Vert S_{k - l -1} \Vert. \tag{3}$

Considere $\Vert S_{k - l -1} \Vert$ tenemos

$\Vert S_{k - l -1} \Vert = \Vert \sum_{n = 0}^{k - l - 1} T^n \Vert \le \sum_{n = 0}^{k - l - 1} \Vert T^n \Vert \le \sum_{n = 0}^{k - l - 1} \Vert T \Vert^n$ $\le \sum_{n = 0}^\infty \Vert T \Vert^n = \dfrac{1}{1 - \Vert T \Vert}, \tag{4}$

donde sabemos que todo converge ya que $\sum_{n = 0}^\infty \Vert T \Vert^n$ es una serie geométrica real con relación $\Vert T \Vert < 1$ ; es bien sabido que la suma de dicha serie es $(1 - \Vert T \Vert)^{-1}$ . Utilizando (4) en (3) encontramos

$\Vert S_k - S_l \Vert \le \dfrac{\Vert T \Vert^{l + 1}}{(1 - \Vert T \Vert)}; \tag{5}$

recordando de nuevo que $\Vert T \Vert < 1$ vemos que de (5) se deduce que $\Vert S_k - S_l \Vert$ puede hacerse arbitrariamente pequeño tomando $l$ suficientemente grande, independientemente de $k$ . Así, $S_m$ es una secuencia de Cauchy en $L(X, X)$ como tal, ya que $L(X, X)$ es completa, el límite $S = \sum_{n = 0}^\infty T^n \in L(X, X)$ la serie infinita converge a $S$ en $L(X, X)$ . QED.

Nota Bene: Vale la pena observar, como se insinúa en lo anterior, que

$(I - T)^{-1} = \sum_{n = 0}^\infty T^n; \tag{6}$

esto puede verse de la siguiente manera:

$(I - T)\sum_{n = 0}^m T^n = I - T^{m + 1} \tag{7}$

por simple álgebra; ahora bien, si dejamos que $m \to \infty$ el lado derecho se aproxima $I$ , ya que $T^{m + 1} \to 0$ en virtud de $\Vert T \Vert < 1$ ( $\Vert T^{m + 1} \Vert \le \Vert T \Vert^{m + 1}$ ). Se trata de una identidad muy conocida y muy útil en la teoría de los operadores lineales. Fin de la nota.

Espero que esto ayude. Adiós,

y como siempre,

¡¡Fiat Lux!!