En una integral del producto del seno

Question

La siguiente integral surgió en un cálculo de valor de expectativa en mecánica cuántica:

$$I:=\int_{-a}^a\sin\left(\frac{(n+1)\pi}{a}x\right)\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\text dx$$

Hay algunas subsituaciones obvias que se pueden hacer (por ejemplo $x\mapsto \frac{n\pi}{a}x$ ). La integración por partes parece relativamente inútil, ya que acabará con un seno y un coseno.

Answer 1

Utilizando $\sin p . \sin q = \frac{1}{2} \left( \cos(p-q) - \cos(p+q) \right),$

$$I = \frac{1}{2} \int_{-a}^a \left( \cos\left(\frac{\pi}{a} x \right) - \cos\left( \frac{(2n+1)\pi}{a}x\right) \right) \ dx = \frac{a}{(2n+1)\pi} \sin(2\pi n)$$