¿La derivada de mayor orden es suficiente para la norma de Sobolev?

Question

Pensando en la derivada parcial en esta pregunta $\Delta u$ está acotado. ¿Podemos decir $u\in C^1$ ? mía, me encontré con este post.

Normas equivalentes en los espacios de Sobolev

1. Me pregunto si esto se mantiene cuando $\alpha\neq 2$ también.

2. En este post se omiten demasiados detalles. ¿Puedo pedir una referencia?

Answer 1

Sí, es cierto.

En realidad se trata de una idea general para el espacio que implica varios órdenes de derivadas: " los términos extremos de una suma suelen ser suficientes para controlar los términos intermedios ". Obsérvese que por extremo se entiende tanto el orden más alto como el más bajo.

Por ejemplo, $W^{3,p}$ norma de $u$ se puede controlar utilizando sólo $L^p$ norma de $u$ y el $L^p$ norma de la tercera derivada de $u$ .

Esta idea también se aplica al espacio $C^p(\Omega)$ el espacio de funciones continuas diferenciables de orden $p$ con $L^\infty$ norma. También se aplica el espacio de Holder.

Para una buena referencia de esta idea, le sugiero que lea esto Correo electrónico: por Terence Tao, busque el ejercicio 2 para obtener más explicaciones.

Además, para las normas equivalentes en los espacios de Sobolev, primero mira esto Correo electrónico: El teorema 2.7, para resumirlo, es el siguiente libro , página 133, teorema 5.2 para ver los detalles de la prueba. (La prueba no es corta)