Una pregunta de cálculo funcional

Question

Dejemos que $f(x)$ sea una función continua en el conjunto de los números reales, tal que

$$f(x)=\begin{cases} \pi, \,\, \text{if} \,\, x> 1\\ g(x), \,\,\text{if}\,\,x 1\end{cases}$$

¿Cuál de estas afirmaciones es siempre correcta?

1. $$\lim_{x\to 1} g(x)=\pi$$

2. $$g(1)=\pi$$

3. $$\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)}{g(x)}=1$$

Mis intentos.

Tal vez no pueda ver la conexión correcta sobre la continuidad entre $f(x)$ y $g(x)$ . Ese es mi primer problema.

Tenemos $$f(1)=\lim_{x\to 1^+} f(x)=\pi=\lim_{x\to\ 1^-}f(x)=g(1)\implies \pi=g(1) $$

Creo que esto no implica,

$\lim_{x\to 1} g(x)=\pi$ .

Quiero decir que sobre $3$ No obstante, esto no siempre es correcto. Porque, puede ser

$$\lim_{x\to 1^-}g(x)=0$$

Pero, $$g(1)=\pi$$

Por lo tanto, mi respuesta es $2$ . Es posible que esté completamente equivocado. No estoy seguro de lo que está pasando aquí, exactamente.

Answer 1

1. Desde $g$ sólo se menciona en la definición de $f$ para $x \leq 1$ No sabemos nada sobre $g$ para $x > 1$ . En particular, no sabemos $$ \lim_{x \to 1^+} g(x), $$ por lo que no podemos garantizar que el límite de dos lados exista, y mucho menos que su valor sea $\pi$ . Para un contraejemplo explícito, utilice cualquier función $g$ con una discontinuidad de salto en $x=1$ pero continua desde la izquierda: $$ g(1) = \lim_{x \to 1^-} g(x) = \pi $$ pero $$ \lim_{x \to 1^+} g(x) $$ no converge o tiene límite $L \neq \pi$ .

2. Su cálculo es correcto, y la continuidad de $f$ fuerzas $g(1) = \pi$ .

3. Para $x < 1$ tenemos $f(x) = g(x)$ Así que $$ \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 1^-} 1 = 1. $$