$O_1, O_2, O_3, O_4$ circuncentros para triángulos $AQM , MBN, NCP, PDQ$ .

Question

Sea ABCD un paralelogramo y $M, N, P, Q$ en $AB, BC, CD, DA$ y $O_1, O_2, O_3, O_4$ circuncentros para triángulos $AQM , MBN, NCP, PDQ$ . Demostrar que $O_1O_2,O_3,O_4$ es un paralelogramo. En un rectángulo es fácil de demostrar. He intentado costruir bisectrices de líneas pero no he encontrado nada.

Answer 1

Trivialmente, $O_1O_2O_3O_4$ es un paralelogramo cuando $M,N,P,Q$ son los puntos medios de los lados. Llamemos a esto el paralelogramo medio.

(Perdón por no etiquetar los puntos, usaré los nombres de los puntos en este sorteo).

Desde el paralelogramo del medio, movamos $E$ hasta donde queremos que esté.

$I$ es la intersección de las bisectrices perpendiculares de $CE$ y $CF$ y $K$ es la intersección de las bisectrices perpendiculares de $DE$ y $DH$ . Cuando nos movemos $E$ sólo los segmentos de línea $CE$ y $DE$ cambiar.

Por lo tanto, cuando nos movemos $E$ el gradiente de $IK$ se mantendrá constante, por lo que siempre será paralela a $JL$ igual que en el paralelogramo central.

Repita este proceso para $F,G,H$ y todos los lados de $IJLK$ serán paralelos a los lados del paralelogramo del medio.

Answer 2

Los signos de esta solución dependerán de la ubicación de los puntos en relación con los lados del paralelogramo. Utilizando la proyección vectorial se puede eliminar este inconveniente.

$$GA=AI+IG=AI+EJ=AE \cos A+O_1E\sin A \Rightarrow O_1E=\frac{GA-AE\cos A}{\sin A}$$

$$HB=HL=KF-LF=O_2F \sin A - BF \cos A \Rightarrow O_2F=\frac{HB+BF \cos A}{\sin A}$$

$$EF=EM+MF=AE+BF=\frac{AE+EM}{2}+\frac{BF+MF}{2}=\frac{AB}{2}$$

$$O_2F-O_1E=\frac{HB-GA+(AE+BF) \cos A}{\sin A}=\frac{NB-QA+AB\cos A}{2\sin A}$$

Pendiente de la línea $O_1O2$ sobre la línea $AB$ es $$k_{12}=\frac{O_2F-O_1E}{EF}=\frac{NB-QA+AB\cos A}{AB \sin A}$$

Uso de la analogía: pendiente de la línea $O_3O_4$ sobre la línea $CD$ es $$k_{34}=\frac{O_2F-O_1E}{EF}=\frac{QD-NC+CD\cos C}{CD \sin C}$$

$$QA+QD=AD=BC=NB+NC \Rightarrow QD-NC=NB-QA \Rightarrow k_{34}=k_{12}$$

$CD$ es paralelo a $AB$ Por lo tanto $O_1O_2$ es paralelo a $O_3O_4$ .