Fórmula explícita para la función de recuento de ceros de Riemann

Question

A menudo he visto que se afirma (en términos vagos) que existe una dualidad de Fourier entre el conjunto de números primos y el conjunto de ceros zeta de Riemann no triviales.

Dado que existen varias fórmulas explícitas por las que las funciones de conteo de primos pueden expresarse como sumas infinitas de funciones sinusoidales sobre el conjunto de ceros de zeta, siempre había supuesto que lo mismo funcionaría en sentido contrario. Es decir, imaginé que había una fórmula bien conocida por la que la función de contar ceros no triviales podía expresarse como una suma infinita de funciones sinusoidales sobre el conjunto de los primos.

Sin embargo, no he podido encontrar dicha fórmula. La única fórmula explícita que he encontrado para esta función de recuento es la siguiente:

$$f(E) = \frac{1}{\pi} \Im(\ln(\Gamma(1/4 + iE/2)) - \frac{E}{2\pi}\ln(\pi) + \frac{1}{\pi} \Im(\ln(\zeta(1/2 + iE)) + 1$$

donde no hay participación explícita de los primos.

¿Alguien conoce una fórmula del tipo que busco? Estoy seguro de que debe existir, ya que un amigo programador se fijó recientemente en esto y sintió la suficiente curiosidad como para sustituir "ilegalmente" la expresión del producto de Euler (truncado) por zeta en lo anterior (no converge en la franja crítica, por lo que dicha sustitución no es matemáticamente válida), sólo para ver cómo sería la función resultante. Sus gráficos de

$$N_m(E) = \frac{1}{\pi} \Im(\ln(\Gamma(1/4 + iE/2)) - \frac{E}{2\pi}\ln(\pi) - \frac{1}{\pi} \sum_{p < m} \Im(\ln(1-p^{-1/2-iE})) + 1$$

en tres colores (correspondientes a $m = 100$ , $1000$ y $10000$ y donde $E$ varía de $4$ a $60$ ) puede verse aquí:

Las posiciones de los ceros de la zeta son claramente visibles, por lo que, aunque no sea una fórmula válida, imagino que debe haber algo así que es válido.

Answer 1

La función de recuento de ceros de la zeta de Riemann como suma de la función de von Mangoldt (o expandida con la función de Möbius):

Programa de Mathematica que exporta 120 imágenes gif a tu carpeta de Documentos.

(*Integral*)(*start*)
Clear[k, n, s, i, d, r, q, f, a, b, integral, c, nn, n, k];
nn = 120;
delta = 1/10;
k = 16;
q = 10;
c = 1;
rr = 60;
f[s_, d_] = 
  N[-I*MoebiusMu[
     d]*(If[d == 1, 0, -((d^(1 - s) 1^-s)/(Log[d] + Log[1]))] + 
      Sum[-((d^(1 - s) n^-s)/(Log[d] + Log[n])), {n, 2, k}] + 
      ExpIntegralEi[-(-1 + s) Log[d] - (-1 + s) Log[
          k]] + (d^(1 - s) k^-s)/(2 (Log[d] + Log[k])) + 
      Sum[Sum[-(BernoulliB[2*(n + 1)]/((2*(n + 1))!))*(Abs[
           StirlingS1[2*n + 1, i]]) d k^(-2*n - 1) Gamma[1 + i, 
          s Log[k*d]] Log[k*d]^(-1 - i), {i, 0, 2*n + 1}], {n, 0, 
        q - 1}])];
integral[a_, b_, d_] = f[b, d] - f[a, d];
Print["Counting to ", nn];
rrr = N[Table[RiemannSiegelTheta[t]/Pi, {t, 0, rr, delta}]];
Monitor[iii = 
   Table[Table[
     Re[Sum[integral[1/2 + I*0, 1/2 + I*t, d]/n^c, {d, Divisors[n]}]]/
      Pi, {t, 0, rr, delta}], {n, 1, nn}];, n]
Monitor[Table[
  Export[StringJoin["image", ToString[i], ".gif"], 
   Show[Plot[(RiemannSiegelTheta[t] + Im[Log[Zeta[1/2 + I*t]]])/Pi + 
      1, {t, 0, 60}, PlotStyle -> {Red, Thickness[0.004]}, 
     ImageSize -> Large], 
    ListLinePlot[rrr - Sum[iii[[j]], {j, 1, i}], 
     PlotStyle -> Thickness[0.004], DataRange -> {0, rr}, 
     ImageSize -> Large], 
    Graphics[
     Text[Style["Counting Riemann zeta zeros using", Large], {21, 
       12}]], Graphics[
     Text[Style[
       StringJoin[ToString[i], 
        " terms of the von Mangoldt function."], Large], {23, 
       10}]]]], {i, 1, nn}], i]
(*end*)

Answer 2

Puede que esto no te ayude, pero: Con Excel calculé la Transformada Discreta de Fourier de una función = picos unitarios en lugares de los logaritmos de unos cientos de primos. Los ceros de la zeta (parte imaginaria) aparecen como picos. Pero sólo funciona para números pequeños de primos y ceros. Para una mejor aproximación, invertí la fórmula explícita de Riemann, haciendo las alturas de los picos = ln(p)/sqrt(p), e incluí potencias de primos a 1/exponente como mucho, como la función de Von Mangoldt. Eso dio resultados mucho más limpios, válidos para miles de primos y ceros. Sin embargo, diverge (aumentando las oscilaciones) para valores realmente grandes, porque los logaritmos de los primos se acercan (más que los ceros zeta en la fórmula de Reimann). Estoy omitiendo algunos detalles. Si usted o alguien está interesado, envíeme un correo electrónico a robertjwalcott@yahoo.com para obtener las hojas de cálculo o los gráficos.