Fórmula explícita para la función de recuento de ceros de Riemann

Question

A menudo he visto que se afirma (en términos vagos) que existe una dualidad de Fourier entre el conjunto de números primos y el conjunto de ceros zeta de Riemann no triviales.

Dado que existen varias fórmulas explícitas por las que las funciones de conteo de primos pueden expresarse como sumas infinitas de funciones sinusoidales sobre el conjunto de ceros de zeta, siempre había supuesto que lo mismo funcionaría en sentido contrario. Es decir, imaginé que había una fórmula bien conocida por la que la función de contar ceros no triviales podía expresarse como una suma infinita de funciones sinusoidales sobre el conjunto de los primos.

Sin embargo, no he podido encontrar dicha fórmula. La única fórmula explícita que he encontrado para esta función de recuento es la siguiente:

$$f(E) = \frac{1}{\pi} \Im(\ln(\Gamma(1/4 + iE/2)) - \frac{E}{2\pi}\ln(\pi) + \frac{1}{\pi} \Im(\ln(\zeta(1/2 + iE)) + 1$$

donde no hay participación explícita de los primos.

¿Alguien conoce una fórmula del tipo que busco? Estoy seguro de que debe existir, ya que un amigo programador se fijó recientemente en esto y sintió la suficiente curiosidad como para sustituir "ilegalmente" la expresión del producto de Euler (truncado) por zeta en lo anterior (no converge en la franja crítica, por lo que dicha sustitución no es matemáticamente válida), sólo para ver cómo sería la función resultante. Sus gráficos de

$$N_m(E) = \frac{1}{\pi} \Im(\ln(\Gamma(1/4 + iE/2)) - \frac{E}{2\pi}\ln(\pi) - \frac{1}{\pi} \sum_{p < m} \Im(\ln(1-p^{-1/2-iE})) + 1$$

en tres colores (correspondientes a $m = 100$ , $1000$ y $10000$ y donde $E$ varía de $4$ a $60$ ) puede verse aquí:

Las posiciones de los ceros de la zeta son claramente visibles, por lo que, aunque no sea una fórmula válida, imagino que debe haber algo así que es válido.

Answer 1

Parece que la fórmula exacta que se busca aquí se encuentra en A.P. Guinand, "A summation formula in the theory of prime numbers", Proceedings of the London Mathematical Society (2) 50 (1948) 107--119. La primera página se puede ver aquí sin suscripción:

http://plms.oxfordjournals.org/content/s2-50/1/107.extract

---

        

---

Puede ver la fórmula explícita en el resumen, aunque es difícil ver los detalles sin acceder al PDF completo. Se trata de una forma general que implica una función $f$ y una transformada integral de la misma. El resumen menciona "condiciones apropiadas" sobre $f$ : No puedo ver cuáles son, pero con una elección adecuada de esta función, la fórmula mostrada se reduciría presumiblemente a una relación bastante sencilla entre una suma sobre los primos y una suma sobre los ceros no triviales.

Answer 2

Asumiendo la Hipótesis de Riemann, se puede utilizar una aproximación suave a la función característica de un intervalo en la fórmula explícita de Guinand-Weil para aproximadamente cuenta el número de ceros de la función zeta en un intervalo de la recta crítica. Esto expresa el número aproximado de tales ceros en términos de una integral de su función de prueba y una suma sobre primos, como usted busca. De hecho, esto se puede configurar de tal manera que la suma sobre los primos sea finita. (Este método se puede utilizar para dar límites superiores e inferiores para el número de ceros, pero no una fórmula exacta).

Los detalles están (esencialmente) contenidos en un artículo de Goldston & Gonek "A note on S(t) and the zeros of the Riemann zeta function" disponible en la página web de Dan Goldston: math.sjsu.edu/~goldston/publications.htm

Answer 3

La fórmula la da Guinand como dice en su respuesta Matthew Watkins pero se puede encontrar en la página 111 del documento y dice: asumiendo la Hipótesis de Riemann y $T>0$ $$\frac12(N(T+0)+N(T-0))=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}-$$ $$- \frac{1}{\pi}\lim_{N\to\infty}\Bigl[\sum_{n=1}^N\Lambda(n)\frac{\sin(T\log n)}{n^{1/2} \log n}-\int_1^N \frac{\sin(T\log t)}{t^{1/2}\log t}dt-$$ $$-\frac{\sin(T\log N)}{\log N}\Bigl(\sum_{n=1}^N\Lambda(n)n^{-1/2}-2N^{1/2} \Bigr)\Bigr]+$$ $$+\frac{1}{2\pi}\left(\operatorname{\rm am}\Gamma\left(\frac12+iT\right)-T\log T+T\right)+$$ $$+\frac{1}{\pi}\arctan(2T)-\frac{1}{4\pi}\arctan(\sinh(\pi T)),$$ donde $\operatorname{\rm am} \Gamma(\frac12+it)$ se define haciendo $\operatorname{\rm am} \Gamma(\frac12)=0$ y continuando analíticamente a lo largo de cualquier camino que no se encuentre con el eje real.

Por supuesto, las sumas donde $\Lambda(n)$ aparece puede considerarse suma sobre primos.

Answer 4

El documento de Guinand está disponible en archivo.org (p.111)

Answer 5

---

Edición 5.2.2014:

Utilizando esto como punto de partida:

$$\Lambda(n)=\lim\limits_{s \rightarrow 1} \zeta(s)\sum\limits_{d|n} \frac{\mu(d)}{d^{(s-1)}}.$$

Donde $\Lambda(n)$ es la función de von Mangoldt.

---

---

Editar 25.3.2018 Todas las fotos que he puesto arriba están un poco o casi completamente mal. He borrado las dos últimas. La trama correcta parte de las siguientes relaciones simbólicas:

Dejemos que $\mu(n)$ sea la función de Möbius, entonces

$$a(n) = \sum\limits_{d|n} d \cdot \mu(d)$$

$$T(n,k)=a(GCD(n,k))$$

$$T = \left( \begin{array}{ccccccc} +1&+1&+1&+1&+1&+1&+1&\cdots \\ +1&-1&+1&-1&+1&-1&+1 \\ +1&+1&-2&+1&+1&-2&+1 \\ +1&-1&+1&-1&+1&-1&+1 \\ +1&+1&+1&+1&-4&+1&+1 \\ +1&-1&-2&-1&+1&+2&+1 \\ +1&+1&+1&+1&+1&+1&-6 \\ \vdots&&&&&&&\ddots \end{array} \right)$$

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{T(n,k)}{n^c \cdot k^s} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\lim\limits_{z \rightarrow s} \zeta(z)\sum\limits_{d|n} \frac{\mu(d)}{d^{(z-1)}}}{n^c} \;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\lim\limits_{z \rightarrow s} \zeta(z)\sum\limits_{d|n} \frac{\mu(d)}{d^{(z-1)}}}{n^c} = \frac{\zeta(s) \cdot \zeta(c)}{\zeta(c + s - 1)} \;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

que es parte del límite:

$$\frac{\zeta '(s)}{\zeta (s)}=\lim_{c\to 1} \, \left( \color{Red}{\zeta (c)}-\frac{\zeta (c) \zeta (s)}{\zeta (c+s-1)}\right) \;\;\;\;\;\;\;(3)$$ $$\int \frac{\zeta '(s)}{\zeta (s)} ds = \log(\zeta(s)) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$

Y la función de conteo zeta cero es aproximadamente:

$$f(t)=\frac{\vartheta (t)+\Im\left(\log \left(\zeta \left(i t+\frac{1}{2}\right)\right)\right)}{\pi }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$

donde $\vartheta (t)$ es la función Theta de Riemann Siegel.

Dado que buscamos la serie de Fourier como gráfico, escribimos el lado derecho de $(3)$ como:

$$\frac{\zeta '(s)}{\zeta (s)} \approx \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \color{Red}{\frac{1}{n^c}}-\frac{\lim\limits_{z \rightarrow s} \zeta(z)\sum\limits_{d|n} \frac{\mu(d)}{d^{(z-1)}}}{n^c}\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$ Integrando $(6)$ que logramos:

$$\log(\zeta(s))\approx \int\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \color{Red}{\frac{1}{n^c}}-\frac{\lim\limits_{z \rightarrow s} \zeta(z)\sum\limits_{d|n} \frac{\mu(d)}{d^{(z-1)}}}{n^c}\right)ds\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(7)$$ El color $\color{Red}{\zeta(c)}$ en $(3)$ y $\color{Red}{\frac{1}{n^c}}$ en $(6)$ equivale a la primera columna de la matriz $T$ .

Esta integral puede resolverse simbólicamente con la fórmula de Euler-Maclaurin para la función zeta de Riemann, y combinarse con la Theta de Riemann Siegel en $(5)$ es algo así como:

$f(t)=\small \frac{\vartheta (t)+\Re\left(\sum _{\text{nn}=1}^{\text{nnn}} \left(\frac{1}{\text{nn}^c}-\frac{\sum _{d=1}^{\text{nn}} \text{If}\left[\text{nn} \bmod d=0,\sum _{r=1}^{q-1} \left(\sum _{i=0}^{r-2} -\frac{B_r d^{1-\left(\frac{1}{2}+i t\right)} k^{-r-\left(\frac{1}{2}+i t\right)} \left|S_r^{(i)}\right| \text{Expand}\left[\sum _{m=0}^i \left(\frac{1}{2}+i t\right)^m (\log (d)+\log (k))^m N\left[\frac{i!}{m!}\right]\right]}{r! (\log (d)+\log (k))^{i+1}}\right)+\mu (d) \sum _{n=1}^k \text{If}\left[n=1\lor (n=1\land d=1),\frac{1}{2}+i t,-\frac{d^{1-\left(\frac{1}{2}+i t\right)}}{n^{\frac{1}{2}+i t} (\log (d)+\log (n))}\right]+\text{Ei}\left(-\left(\left(i t+\frac{1}{2}\right)-1\right) \log (d)-\left(\left(i t+\frac{1}{2}\right)-1\right) \log (k)\right),0\right]}{\text{nn}^c}\right)\right)}{\pi } \;(8)$ donde $s$ ha sido sustituido por $1/2+it$ . $f(t)$ en $(8)$ no es factible de evaluar desde el punto de vista computacional, por lo que se recurre a la integral numérica.

Si, en cambio, observamos el trazado de la integral numérica en la parte derecha en $(9)$ a continuación, para $c=1$ ; $$1+\frac{\vartheta (t)+\Im\left(\log \left(\zeta \left(i t+\frac{1}{2}\right)\right)\right)}{\pi } \\ \approx \frac{\vartheta (t)+\Re\left(\int\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n^c}-\frac{\lim\limits_{z \rightarrow \frac{1}{2} + it} \zeta(z)\sum\limits_{d|n} \frac{\mu(d)}{d^{(z-1)}}}{n^c}\right)ds\right)}{\pi}\;\;\;\;\;(9)$$

aparece algo mucho más parecido a las series de Fourier:

donde hay un salto de tamaño uno en cada cero de la zeta de Riemann.

El programa de Mathematica para el trazado de la integral numérica en $(9)$ es:

(*start*)
Clear[n, s, c, t, nn, delta];
c = 1;
delta = 40;
nn = 60;
a = Sum[1/N[n]^c - 
    Zeta[1/2 + I*t]*
     Total[MoebiusMu[Divisors[n]]/Divisors[n]^(1/2 + I*t - 1)]/
      n^c, {n, 1, 600}];
ListLinePlot[(Table[
      delta*RiemannSiegelTheta[t], {t, 0, nn, 1/delta}] + 
     Accumulate[Table[Re[a], {t, 0, nn, 1/delta}]])/delta/Pi, 
 PlotStyle -> Thickness[0.003], DataRange -> {0, nn}]
(*end*)

---

Edición 15.8.2018:

La forma correcta de integrar la fórmula de Euler-Maclaurin es:

$$\boxed{N(t)=\frac{1}{\pi}\left(\vartheta (t)-\Re\left(\sum _{n=1}^{\text{nn}} \frac{1}{n^c} \left(\underset{d \mid n}{\sum\limits_{d=1}^{n}} \left(f(\frac{1}{2}+it, d)-f(\frac{1}{2}+i0, d) \right)\right)\right)\right)}$$

donde $\vartheta (t)$ es la función theta de Riemann-Siegel,

y dónde:

$$f(s,d)=-i \mu (d) \left(\sum _{n=0}^{q-1} \left(\sum _{i=0}^{2 n+1} -\frac{d B_{2 (n+1)} k^{-2 n-1} \left|S_{2 n+1}^{(i)}\right| \log ^{-i-1}(d k) \Gamma (i+1,s \log (k d))}{(2 (n+1))!}\right)+\sum _{n=2}^k -\frac{d^{1-s} n^{-s}}{\log (d)+\log (n)}+\text{If}\left[d=1 \text{ then } 0\text{ else }-\frac{1^{-s} d^{1-s}}{\log (d)+\log (1)}\right]+\frac{d^{1-s} k^{-s}}{2 (\log (d)+\log (k))}+\text{Ei}(-(s-1) \log (d)-(s-1) \log (k))\right)$$

y donde $\mu (d)$ es la función de Möbius.

Como programa de Mathematica el simbólico integral es:

(* Integral *) 
(*start*)
Clear[k, n, s, i, d, r, q, f, a, b, integral, c, nn, n, k];
nn = 30;
delta = 1/5;
k = 30;
q = 10;
c = 1;
rr = 60;
f[s_, d_] = -I*
   MoebiusMu[
    d]*(If[d == 1, 0, -((d^(1 - s) 1^-s)/(Log[d] + Log[1]))] + 
     Sum[-((d^(1 - s) n^-s)/(Log[d] + Log[n])), {n, 2, k}] + 
     ExpIntegralEi[-(-1 + s) Log[d] - (-1 + s) Log[k]] + (
     d^(1 - s) k^-s)/(2 (Log[d] + Log[k])) + 
     Sum[Sum[-(BernoulliB[2*(n + 1)]/((2*(n + 1))!))*(Abs[
          StirlingS1[2*n + 1, i]]) d k^(-2*n - 1)
         Gamma[1 + i, s Log[k*d]] Log[k*d]^(-1 - i), {i, 0, 
        2*n + 1}], {n, 0, q - 1}]);
integral[a_, b_, d_] = f[b, d] - f[a, d];
Print["Counting to ", rr];
Monitor[ListLinePlot[
  Table[(RiemannSiegelTheta[t] - 
      Re[Sum[Sum[
         If[Mod[n, d] == 0, integral[1/2 + I*0, 1/2 + I*t, d]/n^c, 
          0], {d, 1, n}], {n, 1, nn}]])/Pi, {t, 0, rr, delta}], 
  PlotStyle -> Thickness[0.003], DataRange -> {0, rr}, 
  ImageSize -> Large], Floor[t]]
(* end *)