ideales, proyecciones y factores en las álgebras VN

Question

Estoy tratando de resolver algunos problemas sobre el álgebra de Von Neumann y tengo las siguientes preguntas.

$Q1$ . Por definición sabemos que un factor es un álgebra de Von Neumann con centro trivial, es decir, un centro formado sólo por operadores escalares. Supongamos ahora que $M$ es $\textbf NOT$ un factor. ¿Es cierto que $M$ ¿tiene ciertamente una "proyección central" distinta de la identidad? En realidad, esta afirmación no me parece obvia, aunque podría ser trivial.

$Q2$ . Supongamos que $M$ es un factor semifinito y propiamente infinito. ¿Contiene un ideal propio de dos lados? Parece que el tramo lineal de todas las proyecciones finitas hace el trabajo, pero no sé cómo verificar esta afirmación.

Si $p$ y $q$ son dos proyecciones en un factor, entonces $p$ es sub-equivalente a $q$ o $q$ es sub-equivalente a $p$ . ¿Este hecho ayuda a responder $Q2$ ?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

1. El centro de un álgebra de von Neumann es un álgebra de von Neumann. Un álgebra de von Neumann está generada (¡como un espacio de Banach!) por sus proyecciones.

2. Un factor no puede tener un ideal propio, si exigimos que sea sot-cerrado. Pero el ideal normocerrado generado por las proyecciones finitas es un C $^*$ -ideal. Se podría intentar demostrar que cualquier combinación lineal de palabras sobre proyecciones finitas está a distancia $1$ de la identidad; este enfoque funciona incluso para un no-factor. O se puede observar que un II $_\infty$ el factor es siempre $M\otimes B(H)$ con $M$ a II $_1$ -factor, y tomar $J=M\otimes K(H)$ .