¿Por qué el espacio de las funciones continuas acotadas es completo?

Question

El espacio de funciones continuas acotadas desde algún espacio a un espacio métrico completo es completo. Ahora, si consideramos la secuencia $\lbrace f_n(x)=x^n \mid f_n \colon [0,1]\to [0,1] \rbrace_n^{\infty}$ entonces $f_n$ es continua y acotada para todo $n$ y converge a una función discontinua. Dado que $\lbrace f_n \rbrace$ converge, es Cauchy. Pero $\{f_n\}\subset B_C(\mathbb{R})$ (donde $B_C (X)$ es el espacio de las funciones continuas acotadas de $X$ a $X$ ). ¿Cómo se ajusta esto al hecho de que $B_C(\mathbb{R})$ ¿está completo?

Claramente, me estoy perdiendo algo aquí. Agradecería una explicación. Gracias.

Answer 1

El espacio de funciones continuas acotadas es completo con respecto a la métrica inducida por la siguiente norma {supremum}:

$$\|f\|=\sup_{x \in E}|f(x)|$$

donde $f: E \to \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ . Puedes comprobar que efectivamente esto nos da una norma. Ahora defina $d(f,g)=\|f-g\|$ para obtener una métrica en el espacio de las funciones continuas acotadas.

Cuando se habla de un espacio métrico, hay que saber con qué métrica se trabaja. Seguramente, si $f_n \to f$ en la norma dada anteriormente, $f$ será continua. (esto es sólo otra forma de enunciar el teorema estándar de que el límite de una secuencia uniformemente convergente de funciones continuas es continuo)