Estoy tratando de encontrar órdenes de elementos de $G = GL(3, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ Entiendo que tiene un elemento de orden $7$ . ¿Qué tal si $8$ o $9$ ? Sé que el polinomio mínimo de tal matriz divide $x^8 -1$ y el polinomio mínimo no puede ser $x-1$ o $(x-1)^2$ . Si el polinomio mínimo es $(x-1)^3$ y como el polinomio característico es de orden $3$ . En este caso polinomio característico = polinomio mínimo = $(x-1)^3 = x^3 + x^2 + x + 1$ . Siguiendo esta dirección, tales matrices que encontré son de orden $4$ . Creo que debo haber hecho algo mal en el proceso. Tal vez $G$ no tiene elementos de orden $8$ ?
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riza
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Dejemos que $X$ sea el conjunto de vectores no nulos de $\mathbb{F}_2^3$ . Desde $G$ actúa sobre $X$ y $|X|=7$ ningún elemento puede tener un $8$ -ciclo o superior en su descomposición cíclica, lo que impide tener un orden $8$ .
Con polinomios mínimos: si $(x-1)^3$ fuera el polinomio mínimo de un elemento en $G$ entonces el polinomio $(x-1)^4=x^4-1$ se desvanecería en él, es decir, tendría un orden que dividiría $4$ .
