¿La ecuación $1 + 2 + 3 + \dots = -\frac{1}{12}$ tienen un natural $p$ -¿Interpretación de la adicción?

Question

Considere la ecuación $$1 + 2 + 3 + 4 + \cdots = - \frac{1}{12},$$ "probado" por Ramanujan Euler. Una forma correcta de interpretar esto es que $\zeta(-1) = - \frac{1}{12},$ donde $\zeta(s) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{-s}$ para $\Re(s) > 1$ y $\zeta(s)$ se define por continuación analítica en otro lugar.

Creo recordar que una vez me dijeron que esta ecuación fue verdadero en el $p$ -enteros y anádicos. Sin embargo, al reflexionar un momento, esto es claramente falso; la serie infinita no converge en ningún $\mathbb{Q}_p$ . (Debo estar recordando mal lo que me dijeron).

¿Existe algún argumento para que una versión modificada de la afirmación de Euler sea verdadera $p$ -adicalmente, que no imita los argumentos habituales para $\mathbb{R}$ ? ¿Es "obvio" que el denominador sólo debe ser divisible por los primos 2 y 3?

Answer 1

Para los primos en el denominador, existe una divertida heurística basada en el hecho de que $n \equiv n^{-1}\pmod p$ es válida para todos los $n\geq 1$ (coprima de $p$ ) sólo para $p=2$ y $p=3$ . Así que para estos primos la serie es como la serie $1+1/2+1/3+\cdots$ para $\zeta(1)$ que tiene un verdadero polo...

Answer 2

En primer lugar, parece que esta ecuación fue en realidad la primera ``probada'' por Euler. En el prefacio del libro "Elementary theory of $L$ -funciones y series de Eisenstein" de Haruzo Hida, el autor ofrece una bella exposición de las manipulaciones de Euler que conducen a esta fórmula.

La conexión con $p$ -Las funciones zeta adicas parecen ser a través de las congruencias de Kummer: mirando las fórmulas de Euler, Kummer fue aparentemente conducido a las congruencias que llevan su nombre, y una interpretación apropiada de estas últimas por Kubota y Leopoldt hace medio siglo dio lugar a la primera construcción de la $p$ -análogo de la función zeta de Riemann -- el llamado Kubota-Leopoldt $p$ -función zeta adica.

En cuanto a tus preguntas: para la primera, sólo puedo decir que hay que modificar los valores zeta en las congruencias de Kummer para dar lugar a una función continua de a $p$ -variable adica $s$ (esencialmente, hay que eliminar los valores correspondientes del factor de Euler $1-p^{-s}$ ); para la segunda, no veo ninguna razón a priori ``obvia'' por la que $2$ y $3$ deberían ser los únicos primos en el denominador en la fórmula de Euler.

Las cuatro primeras páginas de las notas de Pierre Colmez http://www.math.jussieu.fr/~colmez/Kubota-Leopodt.pdf son una excelente referencia para los hechos matemáticos mencionados en los dos últimos párrafos.