$\varphi$ está bien definida en $G/N$ si y sólo si $N\le \ker \Phi$ .

Question

Estas son las observaciones finales de Dummit y Foote Abstract Algebra, Ch 3, sec 3:

Tenemos, en el curso de la demostración de los teoremas de isomorfismo, hemos encontrado situaciones en las que un homomorfismo $\varphi$ en el grupo cociente $G/N$ se especifica dando el valor de $\varphi$ en el coset $gN$ en términos del representante $g$ solo. En cada caso tuvimos que demostrar $\varphi$ estaba bien definido, es decir, era independiente de la elección de $g$ . En efecto, estamos definiendo un homomorfismo, $\Phi$ , en $G$ especificando el valor de $\varphi$ en $g$ . Entonces la independencia de $g$ equivale a exigir que $\Phi$ sea trivial en $N$ para que

• $\varphi$ está bien definida en $G/N$ si y sólo si $N\le \ker \Phi$ .

Y después de algunos comentarios más, incluyen esta imagen:

Aunque no entiendo muy bien lo que ocurre en esta parte de la sección, me gustaría ver una prueba de la afirmación de la bala. Aquí está mi intento:

$\implies$ : Supongamos que $\varphi$ bien definido entonces, y dejemos que $n\in N$ entonces $\Phi(n)=\varphi\circ\pi(n)=\varphi(nN)=\varphi(N)=e_H$ .

Pero, no puedo mostrar la implicación inversa. Creo que como aún no hemos demostrado que $\varphi$ está efectivamente bien definida, utilizando $\Phi=\varphi\circ\pi$ será ilegal.

Además, si puedes adjuntar otro enlace de lectura o de nota de clase, que trate el tema mencionado con más detalle, te lo agradeceré.

Answer 1

La idea es que si $N \leqslant \ker \Phi$ y tenemos dos representantes $x, x'$ del mismo coset $xN$ entonces $x' = xn$ para algunos $n \in N$ y $\Phi(n) = 1_H$ así que

$$\Phi(x) = \Phi(x)1_H = \Phi(x)\Phi(n) = \Phi(xn) = \Phi(x')$$

Por lo tanto, la definición $\varphi(xN) = \Phi(x)$ está bien definido ya que el valor $\Phi(x)$ que obtengamos no depende del representante que elijamos.

Este resultado se conoce como la "propiedad universal de los grupos cocientes" y forma parte de una discusión más amplia de los tres "teoremas de isomorfismo" de Noether. Puedes encontrar más información sobre esto en prácticamente cualquier introducción al tema. Si sigues buscando más información, te recomiendo que consultes varias fuentes para obtener diferentes puntos de vista. Las fuentes en línea serán, por supuesto, las más fáciles de conseguir.