¿Es posible aplicar el método variacional al movimiento browniano? Es decir, uno de los requisitos en $y(t)$ es que debe ser continua y $\partial_t{y(t)}$ también, y en este caso, $\partial_t{y(t)}$ no lo es.
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Ampliando un poco la respuesta de Lubos: El movimiento browniano como proceso estocástico en el sentido de las matemáticas no describe una trayectoria (o muchas trayectorias o una medida de probabilidad sobre trayectorias) de partículas puntuales en el sentido de la mecánica clásica. Cuando se utiliza esta herramienta matemática para modelar sistemas físicos se suelen hacer algunas suposiciones -graves- sobre estos sistemas. Para más detalles, consulte las referencias que aparecen aquí:
- Proyecto Azimut: ecuaciones diferenciales estocásticas ,
especialmente la referencia
- William T. Coffey, Yuri P. Kalmykov y John T. Waldron: La ecuación de Langevin. Con aplicaciones a problemas estocásticos en física, química e ingeniería eléctrica.
El movimiento browniano reaparece en la mecánica cuántica como ha explicado Lubos, una referencia clásica es
- Barry Simon: Integración Funcional y Física Cuántica
Es el mismo Simon que escribió el libro clásico de 4 partes sobre análisis y teoría de operadores con Michael Reed.
Los procesos estocásticos de tiempo continuo viven en espacios de funciones y tienen, por tanto, una cantidad infinita de grados de libertad. Por lo tanto, un cálculo de variaciones tiene que ser un cálculo de variaciones en espacios de dimensión infinita. Dicho cálculo existe, y suele llamarse cálculo de Malliavin o de ruido blanco. Ha habido un éxito limitado para proporcionar una construcción rigurosa de la integral de trayectoria de Feynman utilizando el cálculo de ruido blanco (la palabra de moda es "integral de trayectoria de Feynman como una distribución de Hida"), véase por ejemplo
- Zhi-yuan Huang y Jia-an Yan: "Introducción al análisis estocástico de dimensión infinita"
y especialmente el capítulo V párrafo 3.3, "Aplicación a las integrales de Feynman", y el párrafo 4, "aplicaciones a la física cuántica".
P.D.: Normalmente se considera útil si uno explica lo que ya sabe sobre el tema que está preguntando y cuáles son las razones para preguntar. Esto es útil para que la gente pueda adaptar la respuesta a las necesidades del que ha preguntado :-)
Estimado gsAllan, en el mundo real, el movimiento browniano es el resultado de las colisiones del objeto en movimiento que estudiamos -una partícula de polen- con pequeñas moléculas (de agua) que tienen unas posiciones y que pueden ser descritas por el método variacional -ya sea en mecánica clásica o en teoría cuántica de campos (donde me refiero a la integral de trayectoria de Feynman por el método variacional), al menos en principio.
Una vez que lo hagas con todos los grados de libertad del mundo real de todas las moléculas de agua que no son medibles en la práctica, descubrirás que el sistema está descrito por funciones continuas y que la partícula de polen se mueve continuamente todo el tiempo. Existirá una "trayectoria media" y un "tiempo medio entre colisiones" típicos y durante este tiempo, la velocidad de la partícula de polen será finita (y lineal a trozos, con los puntos de inflexión que pueden ser bruscos o suavizados en una aceleración finita, dependiendo de la descripción de las colisiones: si las repele una pared potencial infinita o un potencial repulsivo finito).
Sin embargo, de lo que aparentemente estás hablando es de una descripción simplificada o idealizada del movimiento browniano en el que la fuerza es "aleatoria", es decir, cuando no se pretende llevar la cuenta de las posiciones de todas las moléculas de agua y cuando sólo se quieren calcular los promedios estadísticos (por ejemplo, de la distancia a la que llega la partícula de polen).
Y además, la aleatoriedad de la fuerza se extrapola a escalas de distancia arbitrariamente cortas. En ese caso, las velocidades no son continuas y no tendría sentido describir el movimiento por el principio variacional porque la propia acción tendría que contener también algunos parámetros "aleatorios". Dado que la energía de la partícula de polen puede ser siempre transferida desde/a las moléculas de agua, la conservación de la energía tampoco tiene importancia. Los sistemas en los que "no se conserva nada útil" no suelen ser descritos de forma útil por las acciones.
El propósito mismo del principio variacional es encontrar la única solución canónica correcta para la trayectoria. Pero si hay fuerzas aleatorias, no hay una única trayectoria correcta.
La mecánica cuántica
Sin embargo, existe una interesante relación entre el movimiento browniano y la versión cuántica del principio variacional. En la mecánica cuántica, también se puede declarar que la acción es el "objeto primario" que define toda la dinámica. Este enfoque se denomina definición de la integral de trayectoria de Feynman de la mecánica cuántica. Se suma la fase $\exp(iS/\hbar)$ sobre todas las trayectorias, donde $S$ es la acción de la trayectoria, $i$ es la unidad imaginaria, y $\hbar$ es la constante de Planck reducida, e interpreta la suma como la amplitud de probabilidad de una transición.
Curiosamente, las trayectorias típicas que contribuyen a la integral de trayectoria de Feynman se parecen mucho a las trayectorias del movimiento browniano. Así que las trayectorias del movimiento browniano tienen una profunda importancia para la física formulada en términos de la acción, pero sólo a nivel cuántico.
