Prueba de que el producto de 3 números consecutivos es divisible por 3

Question

Estoy empezando a aprender sobre pruebas y me encontré con este problema:

Demuestra que el producto de 3 números consecutivos es divisible por 3

Voy a exponer mis ideas sobre cómo demostrarlo y cualquier comentario sobre si es erróneo o no sería muy apreciado. Gracias de antemano

Probemos por primera vez que n³-n es divisible por 3 utilizando Inducción :

Restricciones

n Z - {-1, 0, 1}

m Z

Cuando n = 2,

n³ - n = 6 -> Probado para el caso base

n = k

Entonces k³ - k = 3m

Probemos para (k + 1)

(k + 1)³ - (k + 1)

\= k³ - k + 3k² + 3k

\= 3m + 3k² + 3k

\= 3(k² + k + m) -> Probado

Ahora, probemos la conjetura de esta pregunta por deducción que es:

Demuestra que el producto de 3 números consecutivos es divisible por 3

(n - 1)(n)(n + 1)

\= (n² - n)(n + 1)

\= n³ - n

Porque ya se demostró que n³ - n es de hecho divisible por 3 entonces se demuestra también

Answer 1

Sí, está bien, pero se puede reducir drásticamente.

Obsérvese que entre $3$ números consecutivos, exactamente uno es divisible por $3$ (mira su resto cuando se divide por $3$ ). Así que su producto es divisible por $3$ y ya está.

Answer 2

Dado que el OP está "empezando a aprender sobre las pruebas", vale la pena ampliar la respuesta de Aqua con más detalles.

Dejemos que $m$ sea un número entero cualquiera. Utilizando División_euclidiana podemos escribir

$\tag 1 m = 3q + r \text{ where } r \in \{0,1,2\}$

Queremos demostrar que

$\tag 2 n = m (m+1) (m+2)$

es divisible por $3$ .

Si uno de los tres factores en la parte derecha de $\text{(2)}$ es divisible por $3$ entonces $n$ es divisible por $3$ .

Caso 1: r = 0. Entonces $m = 3q$ es divisible por $3$ .

Caso 2: r = 1. Entonces $m + 2 = (3q+1)+2 = 3(q+1)$ es divisible por $3$ .

Caso 3: r = 2. Entonces $m + 1 = (3q+2)+1 = 3(q+1)$ es divisible por $3$ .

Answer 3

Sean 3 números enteros secuenciales k-1,k&k+1

Ahora, k(k-1)(k+1)=k^3-k

Sabemos que para cualquier número entero k={0,1,2}(mod 3)

Caso 1: si, k=0(mod3) Entonces, k^3-k=0(mod 3)

Caso 2:si, k=1(mod 3) ,dejemos k=3n+1 Entonces, k^3-k=(27n^3+27n^2+9n+1)-(3n+1)=0(mod 3)

Caso 3:si, k=2(mod 3) ,dejemos k=3n+2 Then,k^3-k=(27n^3+54n^2+36n+8)-(3n+2)=0(mod 3)

Vemos que en cada caso el producto es divisible por 3. Entonces, hemos terminado y por lo tanto demostrado.