¿Cómo de "grande" puede ser el centro de un grupo perfecto finito?

Question

A grupo perfecto es un grupo donde el subgrupo derivado (conmutador) $G'$ de $G$ es igual a $G$ . $G'$ mide la "no abelianidad" de $G$ En cierto sentido. Esto sugiere que "muchos" elementos de la perfecta $G$ no conmutan, aunque "muchos" otros deben conmutar en cualquier grupo finito, dado que cualquier elemento de un grupo finito genera un subgrupo cíclico.

Se me ocurrió que el centro $Z(G)$ de $G$ puede proporcionar alguna orientación: por ejemplo, el centro (elementos que conmutan con todo) de un grupo perfecto debe ser "pequeño", quizás tan pequeño como trivial (por ejemplo, el centro de un grupo perfecto $A_5$ es trivial). Pero al buscar en Google se deduce que el centro de un grupo perfecto no tiene por qué ser trivial ( Gr $\ddot{u}$ lema de n : $G/Z(G)$ no tiene centro, pero $Z(G)$ puede ser no trivial). I piense en Estoy interpretando esto correctamente, pero podría estar equivocado.

Pregunta: ¿ $G$ ser un grupo perfecto finito dice algo sobre la estructura de $Z(G)$ ? En particular, ¿existe un límite inferior para su índice $[G:Z(G)]$ en términos de $|G|$ ?

Answer 1

Hay dos bonitos límites,

Vamos $|G:Z(G)|=n$ y $G=G'$

1.) Existe un conjunto generador mínimo $S$ para $G$ tal que $|S|\leq n^2$

2.) Para todos $g\in G$ , $g^n=e$ .

La prueba de los primeros argumentos proviene de la idea de que $[x,y]=[z_1u,z_1s]$ para $z_1,z_2\in Z(G)$ . Al manupular, obtendremos $[x,y]=[u,s]$ . Por tanto, todo conmutador puede escribirse como un conmutador de elemetos que se toma del representador del coset izquierdo de $Z(G)$ . Conseguiremos $n^2$ Conmutador diferente.

La prueba de los segundos argumentos proviene de la teoría de la transferencia y es un hecho no trivial.

Answer 2

Existen estos límites, pero $|Z(G)|$ puede ser mayor de lo que cabría esperar.

El multiplicador de Schur de un $p$ -grupo $P$ de orden $p^n$ tiene como máximo el orden $p^{n(n-1)/2}$ (ver aquí ), que es aproximadamente $|P|^{\log |P|}$ . Para un grupo perfecto $G$ , $Z(G)$ es un cociente del multiplicador de Schur de $G/Z(G)$ y el orden de éste es como máximo el producto de los órdenes de los multiplicadores de Schur de sus subgrupos de Sylow, por lo que obtenemos $|Z(G)| \le n^{\log_2 n}$ , donde $n = |G/Z(G)|$ que es una mejora del límite dado por la respuesta de Mesel.

Es posible mejorar esto, pero hay ejemplos en los que $|Z(G)| = n^{O(\log n)}$ . En concreto, dejemos que $p \ge 5$ sea primo, y que $V$ sea el módulo natural de ${\rm SL}(2,p)$ . Entonces hay un grupo perfecto $G$ con $Z(G)$ abelianos elementales de orden $p^{n(n+1)/2}$ y $G/Z(G)$ una extensión de $n$ copias de $V$ por ${\rm SL}(2,p)$ . Así que $|G/Z(G)| = p^{2n+1}(p^2-1)/2$ .