Estado de la conjetura de Quillen sobre grupos abelianos elementales p

Question

Estas son preguntas sobre el documento de D. Quillen de 1978 Propiedades de homotopía del conjunto de p-subgrupos no triviales de un grupo .

Dejemos que $G$ sea un grupo finito, $p$ un número primo, $\mathcal S(G)$ el poset de los no triviales $p$ -subgrupos de $G$ y $\mathcal A (G)$ el conjunto de Abelios elementales no triviales $p$ -subgrupos de $G$ , ambos ordenados por inclusión.

Primera pregunta: ¿Es $\mathcal S(G)$ homotópica o débilmente homotópica a $\mathcal A (G)$ ? (Lo que sea cierto es un teorema de Quillen.) Si es lo segundo, ¿puede alguien dar un ejemplo concreto que demuestre que los dos conjuntos de posturas no son homotópicos?

Quillen también demostró que para $G$ solucionable, $\mathcal A (G)$ es contráctil si y sólo si $G$ tiene una normal no trivial $p$ -subgrupo.

Conjetura (Quillen): $\mathcal A (G)$ es contráctil si y sólo si $G$ tiene una normal no trivial $p$ -subgrupo.

Segunda pregunta: ¿Sigue abierto (sé que fue hace unos años)? ¿Cuáles son las líneas de ataque de este problema? ¿Los intentos de probarlo han conducido a alguna a priori ¿trabajo no relacionado?

Answer 1

El hecho de que $\mathcal{A}(G)\simeq\mathcal{S}(G)$ normalmente se demuestra utilizando el Teorema A de Quillen, tal como lo explica Dan, pero aquí hay otro argumento que me gusta más. (No creo que esté en la literatura.) Para cualquier poset $X$ , dejemos que $sX$ sea el conjunto de cadenas no vacías en $X$ ordenados por inclusión. Existe un homeomorfismo $m:|sX|\to |X|$ por subdivisión baricéntrica. También hay un mapa poset $\max:sX\to X$ y $|\max|$ es homotópico a $m$ (por una homotopía lineal) por lo que es una equivalencia de homotopía. A continuación, si $P$ es un no trivial $p$ -grupo entonces el grupo $TP=\{g\in ZP: g^p=1\}$ es no trivial (por un lema estándar) y abeliano elemental. Por desgracia, el mapa $T:\mathcal{S}(G)\to\mathcal{A}(G)$ no conserva el orden. Sin embargo, supongamos que tenemos una cadena $C=(P_0\leq\dotsb\leq P_r)\in s\mathcal{S}(G)$ . Cuando $i\leq j$ observamos que $TP_i\leq P_j$ y $TP_j$ es fundamental en $P_j$ así que $TP_i$ se desplaza con $TP_j$ . De ello se desprende que el producto $UC=TP_0.TP_1.\dotsb.TP_r$ es de nuevo abeliana elemental. Esto define un mapa de poste $U:s\mathcal{S}(G)\to\mathcal{A}(G)$ y por lo tanto un mapa $|U|:|\mathcal{S}(G)|\simeq|s\mathcal{S}(G)|\to|\mathcal{A}(G)|$ . Si dejamos que $i:\mathcal{A}(G)\to\mathcal{S}(G)$ denota la inclusión entonces $i\circ U\leq\max$ así que $|i|\circ|U|$ es homotópico a $|\max|$ y por lo tanto a $m$ . También tenemos $U\circ si=\max:s\mathcal{A}(G)\to\mathcal{A}(G)$ . De ello se desprende que $|i|$ es una equivalencia de homotopía como se afirma.

Answer 2

Para responder a su primera pregunta, la inclusión $A(G)\to S(G)$ es una equivalencia homotópica. Esta es una aplicación del "Teorema A" de Quillen (también conocido como su "lema de la fibra"). Véase la proposición 2.1 de su artículo. Para aplicar el lema de las fibras, sólo hay que demostrar que las fibras, que son aquellos puntos que mapean por debajo de un determinado P-subgrupo en S, son contractibles. Esto significa que hay que demostrar que los p-subgrupos abelianos elementales de un grupo P forman un poset contractible. Pues bien, eso se hace mediante una contracción cónica: basta con multiplicar cada subgrupo por el máximo subgrupo abeliano elemental del centro (para deslizarlo hacia arriba por encima de este subgrupo característico), y luego deslizarlo hacia abajo hasta este subgrupo.

La conjetura de Quillen está definitivamente abierta. Grodal mostró algunas conexiones con los límites superiores derivados (muestra que ciertos reforzamientos de la conjetura de Quillen son equivalentes a afirmaciones sobre límites superiores), y hay un viejo enfoque que utiliza espacios topológicos finitos debido a Richard Stong. Últimamente ha habido algunos desarrollos interesantes debidos a Shareshian (Hypergraph matching complexes and Quillen complexes of symmetric groups. J. Combin. Theory Ser. A 106 (2004), no. 2, 299--314) y otros, pero en su mayoría se trata de averiguar información más específica en casos particulares, más que de atacar la conjetura completa.

A principios de los 90, Aschbacher y Smith hicieron muchos progresos (véase su artículo de 1993 en Annals). Demostraron la conjetura para los grupos que no contienen ciertos grupos matriciales como subgrupos subnormales.

No sé si alguien tiene realmente ideas sobre cómo probarlo en general.