derivada direccional y diferencialidad

Question

Asumir $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R $ , defina f de tal manera que:

$f (x, y) = \begin{cases} \frac {X^2y} {x^3-y^2} , & if & x^3 \neq y^2 \\ 0 , & if & x^3 =y^2 \end{cases}$

Queremos demostrar que para cada $ z\in \mathbb R^2 $ la derivada direccional de f en (0,0) en la dirección de z existe. Pero f no es difrente en (0,0).

Mi idea: Para la derivada direccional debemos probar :

$\lim\limits_{t \to 0} \frac{f (tx, ty)-f (0,0)}{t}=0 . \Rightarrow \lim\limits_{t \to 0} \frac{f (tx, ty)}{t}=0 \\$

Tengo estas opciones: x=y=0 o t=0 $\Rightarrow \text {limit is equal to zero.}\\ OR $ (tx)^3=(ty)^2 $\Rightarrow t=\frac {y^2} {x^3} $ entonces el límite es igual a cero ? (No estoy seguro) $ ¿Es esto suficiente? O me estoy perdiendo algo.

Sobre la diferencia en (0,0). Estaba pensando en demostrar que (0,0) es un punto aislado. Pero no pude demostrarlo.

Answer 1

Sobre la segunda pregunta: En realidad $f$ no es ni siquiera continua en $(0,0).$ A pesar de que hemos establecido $f=0$ en la curva $y^2=x^3,$ sigue causando problemas. Examine $f$ en una curva diferente, pero cercana, $y^2=x^3.$ La curva $y^2 = x^3+ x^4$ me viene a la mente.