Supongamos que para la doble secuencia $\{a_{m,\,n}\} \subset \mathbb{R}$ tenemos $\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow \infty} a_{m,\,n} = L$ , donde $L \in (0,+\infty]$ . En particular, existe algún $n_0$ tal que $n > n_0$ implica $\lim_{m \rightarrow \infty} a_{m,\,n} > 0$ . ¿Es posible encontrar una subsecuencia $\{a_{m_k,\,n}\}$ tal que $a_{m_k,\,n} > 0$ para todos $n > n_0$ ?
Respuesta
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Pues si te entiendo bien, la respuesta es no. Piensa en una secuencia de la forma $$a_{m,n}=1-\frac{b_n}m.$$ Ya que para cada $n\in \mathbb N$ $$\lim_{m\to\infty} a_{m,n}=1>0,$$ y luego para $n>n_0=1$ tenemos $\lim_{m\to\infty} a_{m,n}>0,$ debe haber una subsecuencia $a_{m_k,n}$ tal que para cada $n>1$ y -creo que has omitido esto- para cada $k\in \mathbb N$ ) $$a_{m_k,n}>0.$$
Pero supongamos, por ejemplo, que $b_n=n$ (o cualquier otra secuencia no limitada por encima)... En este caso, esa condición se cumple si y sólo si $$1-\frac nm>0\iff m>n.$$ Así que no importa el tamaño que elijas $m_k$ siempre habrá un número infinito $n$ tal que $a_{m_k,n}\le 0$ .
Obsérvese también que esto dice que el resultado no es cierto no sólo para los elegidos $n_0$ pero que no importa qué $n_0$ tal que la primera condición se mantiene usted elige, la conclusión es siempre falsa para esta secuencia.
