Sean A y B un álgebra de Banach con $1\in A\subset B$ (1 es la identidad). Sea $a\in A $ entonces demuestre que $Spectrum B\subset SpectrumA$

Question

Sean A y B un álgebra de Banach con $1\in A\subset B$ (1 es la identidad). Sea $a\in A $ entonces demuestre que $$1).Spectrum_a\ B\subset Spectrum_aA$$ $$2). Boundary(Spectrum_aA)\subset Boundary(Spectrum_aB)$$

En primer lugar, tomemos $x\in Spectrum_a\ B$ Voy a mostrar que es en $Spectrum_aA$ . desde $x\in Spectrum_a\ B$
$a-x*1$ no es invertible. Como $a\in A$ , $_\ $ contiene x. Esto implica $Spectrum_a\ B\subset Spectrum_aA$ .

¿Es esto correcto? ¿Y cómo mostramos la segunda parte?

Answer 1

Lema . Supongamos que $A$ es un álgebra de Banach unital y que $\{a_n\}_n\subseteq A$ es una secuencia de elementos invertibles, que convergen a un elemento no invertible $a$ . Entonces $a$ es un divisor topológico de cero lo que significa que existe una secuencia $\{x_n\}_n$ en $A$ con $\|x_n\|=1$ y $\displaystyle\lim_{n\to \infty }ax_n = 0$ .

Prueba . Comenzamos afirmando que no existe una constante positiva $c$ , de tal manera que $$ \|ax\|\geq c\|x\|,\quad\forall x\in A. $$ Para demostrar la afirmación suponemos lo contrario y por lo tanto $$ c\|a_n^{-1}\|\leq \|aa_n^{-1}\| = \|(a-a_n+a_n)a_n^{-1}\| \leq $$$$ \leq \|a-a_n\|\|a_n^{-1}\| + 1, $$ de donde se deduce que $$ \|a_n^{-1}\| \leq \frac 1{c-\|a-a_n\|}, $$ siempre que el denominador sea positivo, lo cual es seguro para un tamaño suficientemente grande $n$ . Esto también demuestra que $\|a_n^{-1}\|$ está acotado. Dado cualquier $n$ y $m$ tenemos entonces que $$ \Vert a_n^{-1}-a_m^{-1}\Vert = \Vert a_n^{-1}(a_m-a_n)a_m^{-1}\Vert \leq $$$$ \leq \Vert a_n^{-1}\|\|a_m-a_n\|\|a_m^{-1}\Vert \leq \|a_m-a_n\|\big(\sup_k\|a_k^{-1}\Vert \big)^2. $$ Esto dice que $\{a_n^{-1}\}_n$ es una secuencia de Cauchy. Estableciendo $\displaystyle b= \lim_{n\to \infty }a_n^{-1}$ tenemos entonces que $$ ab = \big (\lim_{n\to \infty }a_n\big )\big (\lim_{n\to \infty }a_n^{-1}\big ) = \lim_{n\to \infty }a_na_n^{-1} = 1, $$ e igualmente $ba=1$ Así que $a$ es invertible, una contradicción, lo que demuestra la afirmación.

Por lo tanto, para cada $n>0$ la desigualdad " $\|ax\|\geq (1/n)\|x\|$ "no siempre se cumple, por lo que existe algún $x_n$ tal que $$ \|ax_n\|< (1/n)\|x_n\|. $$ La conclusión se desprende de la sustitución de la $x_n$ con $x_n/\|x_n\|$ . QED

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Volviendo a la pregunta, supongamos que $\lambda $ está en el límite de $\sigma _A(a)$ . Entonces $a-\lambda $ no es invertible, pero sí lo es claramente un límite de elementos invertibles de la forma $a-\rho _n$ , donde $\rho _n$ se encuentra en el complemento de $\sigma (A)$ . Por el lema, deducimos deducimos que $a-\lambda $ es un divisor topológico de cero, y esto obviamente impide $a-\lambda $ de ser invertible en $B$ Así que vemos que $\lambda \in \sigma _B(a)$ .

Esto demuestra que $$ \partial \sigma _A(a)\subseteq \sigma _B(a), $$ y a partir de esto se demuestra fácilmente que de hecho $$ \partial \sigma _A(a)\subseteq \partial \sigma _B(a). $$