Identidades similares al "teorema del binomio"

Question

Hay varias identidades que se parecen al teorema del binomio. Para empezar, tenemos el propio teorema del binomio: $$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$$ Pero acabo de aprender del libro "Concrete Mathematics", ejercicio 5.37, que el "factorial descendente" $x^{\underline{k}} = x(x-1)\ldots(x-k+1)$ satisface una identidad similar: $$(x+y)^\underline{n} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^\underline{k} y^\underline{n-k}$$ El "factorial ascendente" $x^{\overline{k}} = x(x+1)\ldots(x+k-1)$ también satisface dicha identidad.

A veces, la identidad implica un producto en lugar de una suma en el lado izquierdo. Si $f$ y $g$ son $n$ -funciones diferenciables en $\mathbb{R}$ entonces esta generalización de la regla del producto es válida: $$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$$ donde $f^{(k)}$ denota el $k$ -derivada de $f$ y la derivada 0 de una función es la propia función.

Pregunta: ¿Existen más de estas identidades similares al teorema del binomio en otros contextos? ¿Son estas identidades parte de algún resultado más general, donde podemos axiomatizar algunas condiciones bajo las cuales algún proceso "iterativo" satisface un teorema similar al binomio?

Answer 1

Algunas palabras clave que querrás buscar: tipo binomio , Secuencia de apelación , Secuencia de Sheffer , cálculo umbral . Las referencias en los artículos correspondientes de Wikipedia también son buenas.

Edit : En cierto sentido, todas estas identidades pueden deducirse de la última. Configurando $$f(t) = e^{xt}, g(t) = e^{yt}$$

produce el teorema del binomio, y estableciendo $$f(t) = (1 + t)^x = \exp (x \log (1 + t)), g(t) = (1 + t)^y = \exp ( y \log (1 + t))$$

produce la segunda identidad. Desde esta perspectiva, se puede pensar que el estudio de los teoremas binomiales generalizados tiene que ver con las funciones generadoras de la forma $\exp (x h(t))$ donde $h(0) = 0$ ; ajuste $$f(t) = \exp (x h(t)), g(t) = \exp (y h(t))$$

produce un teorema binomial bastante general, especialmente si se escribe $h(t) = \sum_{n \ge 1} h_n t^n$ como una serie de potencia formal en variables formales.

Answer 2

He votado la respuesta de Qiaochu Yuan. Para ser más explícito: Digamos que tienes una secuencia de escalares $c_1,c_2,c_3,\ldots$ (empezando por $1$ , no con $0$ ). Entonces se puede encontrar una secuencia de polinomios $p_0(x),p_1(x),p_2(x),\ldots$ (empezando por $0$ , no con $1$ ) tal que para $n=0,1,2,3,\ldots$ $$ p_n(x+y) = \sum_{k=0}^n \binom n k p_k(x) p_{n-k}(y) $$ y $p_n\,'(0)=c_n$ para $n\ge 1$ . Se trata de una "secuencia polinómica de tipo binomial".

Y lo que acabo de escribir equivale a una definición por recursión, así que si quieres escribir, por ejemplo $p_6(x)$ con todos sus coeficientes como polinomios en $c_1,\ldots, c_6$ Sólo hay que aplicar lo que he escrito más arriba. Los polinomios en $c_1,c_2,c_3,\ldots$ que son los coeficientes son los polinomios incompletos de Bell, llamados así por Eric Temple Bell.

Answer 3

Tal vez el Transformación binomial también puede ser de su interés. Un ejemplo de la página:

La transformada binomial es el operador de desplazamiento de los números de Bell. Es decir, $$ B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k $$ donde el $B_n$ son los Números de campana .

Answer 4

No estoy seguro de que esto sea una respuesta: Creo que los coeficientes $\binom{n}{k}$ decir de qué se trata esta fórmula. Usted leyó " $n$ elija $k$ " y eso es básicamente todo. Hay varias posibilidades de formar los sumandos de la derecha y en los ejemplos se ve que el número es exactamente el número de formas de elegir $k$ de $n$ .