¿Qué es la teoría de los anillos locales y los homomorfismos de anillos locales?

Question

Es bien sabido que la categoría de anillos locales y anillo homomorfismos admite una axiomatización en lógica coherente. Explícitamente, es la teoría coherente sobre la firma $0, 1, -, +, \times$ con los axiomas habituales para los anillos, más los axiomas $$0 = 1 \vdash \bot$$ $$\top \vdash (\exists b . \; a \times b = 1) \lor (\exists b . \; (1 - a) \times b = 1)$$ Véase, por ejemplo, [ Haces en Geometría y Lógica , cap. VIII, §6]. Desgraciadamente, como sólo se requiere que los homomorfismos conmuten con las distintas cosas de la firma, los homomorfismos aquí son sólo homomorfismos de anillo y no necesitan ser locales. Me parece que la forma más limpia de arreglar esto es introducir un símbolo de relación unario $(\quad) \in \mathfrak{m}$ con la intención de que $\mathfrak{m}$ se interpreta como el único ideal maximal del anillo local. Entonces, por las reglas habituales para los homomorfismos de modelos, un homomorfismo $R \to R'$ debe asignar elementos de $\mathfrak{m}$ a elementos de $\mathfrak{m}'$ . Pero, ¿hay una manera de axiomatizar la teoría de manera que

1. obtenemos una teoría coherente, o al menos geométrica, y

2. la categoría de modelos en $\textbf{Set}$ es la categoría de anillos locales y homomorfismos de anillos locales, y

3. el homomorfismo de gavilla de estructura $f^\ast \mathscr{O}_{Y} \to \mathscr{O}_{X}$ de morfismo de espacios localmente anillados $X \to Y$ es un homomorfismo en la categoría de modelos para esta teoría?

Lo ideal sería definir $\mathfrak{m}$ para ser la subserie de secciones invertibles en ninguna parte definida por $$\{ s \in \mathscr{O} : \nexists t . \; s \times t = 1 \}$$ pero desgraciadamente $\nexists t . \; s \times t = 1$ no es una fórmula geométrica. (La fórmula $\forall t . \; s \times t \ne 1$ es equivalente a la anterior pero tiene el mismo defecto). Podemos salvar una mitad de la biimplicación como el secuente geométrico $$(a \in \mathfrak{m}) \land (\exists b . \; a \times b = 1) \vdash \bot$$ que se limita a expresar la exigencia de que " $a$ no está en $\mathfrak{m}$ si $a$ es invertible", pero también necesitamos expresar el requisito de que " $a$ es en $\mathfrak{m}$ si $a$ es pas invertible". Una posibilidad es la siguiente: $$\top \vdash (\exists b . \; a \times b = 1) \lor (a \in \mathfrak{m})$$ Estos dos axiomas parecen dar la caracterización correcta de $\mathfrak{m}$ en la lógica intuicionista de primer orden: es fácil derivar de estos axiomas que $$a \in \mathfrak{m} \dashv \vdash \nexists b . \; a \times b = 1$$ por lo que la interpretación de $\mathfrak{m}$ está completamente determinada por los axiomas, al menos en un topos.

Pero, ¿admite todo objeto anular local (en el sentido del primer párrafo) un $\mathfrak{m}$ que satisfagan estos axiomas? La respuesta parece ser no, por la razón de que estos axiomas afirman que toda sección de una gavilla de un anillo local admite una cubierta abierta del espacio por conjuntos abiertos en los que la restricción es invertible o no invertible en ninguna parte - y esto ciertamente no es cierto en los contextos de interés. ¿Puede rescatarse esta idea con un enfoque más inteligente?

Answer 1

Si se conocen los objetos de una teoría geométrica, también se conocen sus morfismos porque $\mathbb{T}(\mathbf 2,\mathcal E)\simeq [\mathbf 2,\mathbb{T}(\mathcal E)]$ . Este es el lema 4.2.3 del capítulo B de Bocetos de un Elefante. Por lo tanto, es imposible que las dos teorías tengan los mismos objetos, pero diferentes morfismos como usted pide.

Answer 2

Lo siguiente debería dar una idea de esta cuestión, que fue más o menos el ejemplo inspirador del trabajo de Diers sobre las categorías localmente multipresentables. Se trata de las versiones "multi" de las construcciones universales habituales implicadas en la dualidad Gabriel-Ulmer.

Las categorías localmente (finitamente) multipresentables son categorías (finitamente) accesibles con colímites múltiples -o, equivalentemente, categorías (finitamente) accesibles con límites conectados que conmutan con colímites (finitamente) filtrados.

Se sabe que cualquier categoría localmente multipresentable de forma finita puede ser axiomatizada por un pequeño esbozo de límite/coproducto finito, equivalentemente por una teoría geométrica disyuntiva - que a menudo resulta ser finitamente disyuntiva, como en el ejemplo siguiente.

En particular, Diers propuso en su tesis un proceso para construir categorías localmente finitamente multipresentables de la siguiente manera. Si se comienza con una categoría localmente (finitamente) multipresentable $\mathcal{A}$ - por lo tanto en particular con una categoría localmente (finitamente) presentable - y una elección de una pequeña familia $ \Gamma $ de conos de mapas finitamente presentados, entonces se puede tomar la categoría $\mathcal{A}_\Gamma$ de objetos que son inyectivos relativamente a los conos en $\Gamma$ y los morfismos que son ortogonales a la derecha de cada flechas involucradas en los conos de $\Gamma$ (en general las flechas en los conos de $\Gamma$ se eligen en una clase izquierda en un sistema de factorización ortogonal, por lo que los morfismos en $\mathcal{A}_\Gamma$ están en particular en la clase correspondiente a la derecha).

Entonces $\mathcal{A}_\Gamma$ puede demostrarse que es localmente multipresentable, y tenemos un functor (finitamente) accesible $ \mathcal{A}_\Gamma \hookrightarrow \mathcal{A}$ que es un multiadjunto derecho y sólo tiene que ser relativamente lleno y fiel, pero no necesariamente lleno. La multirreflexividad implica una especie de argumento de objeto pequeño que devuelve una factorización de morfismos con codominio local.

En el ejemplo de los anillos locales, toma como $\Gamma$ como consistente en el único cono formado por las siguientes dos localizaciones de presentación finita del anillo libre en un generador como en la topología de Zariski

$ \mathbb{Z}[X] \twoheadrightarrow \mathbb{Z}[X,Y]/(XY-1)$ y $\mathbb{Z}[X] \twoheadrightarrow \mathbb{Z}[X,Y]/((X-1)Y-1)$

Entonces, como era de esperar, los objetos de $CRing_\Gamma$ son los anillos locales, pero además la conservatividad de los homomorfismos de un anillo sólo tiene que probarse relativamente a cualquiera de esas localizaciones. Por lo tanto, $CRing_\Gamma$ es la categoría con la buena elección de morfismos. En este caso la plenitud relativa proviene del hecho de que los morfismos conservativos son una clase correcta en el sistema de factorización (localización, conservativa) en $CRing$ y, por lo tanto, tienen la posibilidad de ser cancelados por la derecha. Y el resultado anterior dice que $CRing_\Gamma = LocRing^{Cons} $ es una categoría localmente multipresentable. Por lo tanto, debe haber un pequeño esbozo de límite finito/coproducto que lo axiomatice, y por lo tanto una teoría disyuntiva en alguna firma conveniente (aunque debo admitir que no sé cuál).

Sin embargo, no creo que la parte del límite finito de este esbozo sea la misma que la del límite finito de los anillos conmutativos, porque hay un resultado de Adamek-Rosicky que sugiere que la categoría de modelos de un esbozo de límite-coproducto finito debería ser un completo subcategoría multirreflexiva de la categoría de modelos del esbozo de límite finito subyacente.

También hay un interesante artículo de Johnstone sobre las teorías disyuntivas y su relación con la multipresentabilidad de Diers que puede ser de interés relativamente a esta cuestión.

Answer 3

Puede definir $\mathfrak{m}_R := \{x ~|~ \forall y : 1 - xy \in R^*\}$ . Entonces un homomorfismo $R \to S$ de los anillos locales es un mapa que es compatible con la estructura de los anillos y mapea $\mathfrak{m}_R$ se convierte en $\mathfrak{m}_S$ . Sin embargo, esto es pas equivalente a la condición habitual de que las imágenes de las no unidades son no unidades: En general no es cierto que $R = R^* \cup \mathfrak{m}_R$ . Así lo demuestra Thierry Coquand en una observación sobre la teoría de los anillos locales . El contraejemplo es el siguiente: Consideremos el topos de Zariski $C$ en $\mathbb{Z}$ y la gavilla de estructura $\mathcal{O}$ de $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ . Entonces $\mathcal{O}$ es un anillo local en $C$ se comprueba que $\mathfrak{m}=\{0\}$ en secciones globales, de modo que en particular $2 \in \mathcal{O}^* \vee 2 \in \mathfrak{m}$ no está satisfecho.