Un conjunto de simetrías $n \times n$ las matrices tienen $ \frac{1}{2}n^{2} - \frac{1}{2}n$ elementos independientes. Pero, ¿cómo se llega a este resultado? Tengo entendido que un $n \times n$ matriz tendría $n^{2}$ elementos independientes. ¿Cómo conduce exactamente la restricción de simetría a la pieza anterior? Además, ¿cómo podría determinar el número de elementos para una matriz simétrica sin trazos?
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Damian Sowinski
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Un $n\times n$ matriz, $\mathbf T$ tiene, como usted ha dicho, $n^2$ componentes independientes, a saber $[\mathbf{T}]_{ij}$ donde cada índice puede ir desde $1$ a $n$ . La simetría, en este contexto, significa que la matriz es igual a su transposición, $\mathbf{T}=\mathbf{T}^T$ . ¿Qué significa esto sobre los componentes? Veamos...
$[\mathbf{T}]_{ij}=[\mathbf{T}^T]_{ij}\\ \hspace{0.85cm}=[\mathbf{T}]_{ji}$
¡Eso fue bastante sencillo! La simetría implica que el $(i,j)$ de la matriz es igual al $(j,i)$ componente de la matriz. ¿Qué aspecto tiene esto visualmente? 
Cuando se escribe una matriz simétrica, se observa que casi todos los componentes tienen un gemelo en el otro lado de la matriz. Una forma útil de visualizar una transposición es voltear la matriz a través de su diagonal y darse cuenta de que la simetría significa que al hacerlo no cambia la matriz en absoluto. En resumen, cuando llegue a contar los componentes independientes, tenga cuidado de no contar ambos gemelos como si fueran independientes, sólo cuente los pares de gemelos.
Ahora, ¿qué elementos NO tienen un gemelo? Si miras fijamente la matriz, pronto te darás cuenta de que son los elementos de la diagonal. Eso es porque $[\mathbf{T}]_{ii}=[\mathbf{T}]_{ii}$ trivialmente - la simetría no impuso ningún emparejamiento adicional para estos elementos. Volviendo a nuestra representación visual, si volteamos una matriz a través de su diagonal, los elementos diagonales se mantienen.
Uf, eso fue mucho, pero ahora estamos listos para contar el número de componentes independientes de una matriz simétrica. Primero la diagonal - hay $n$ componentes independientes allí. Ahora los pares de gemelos. Quitando los elementos diagonales, ahora tenemos $n²-n$ componentes. Si los hermanamos, entonces tendremos $\frac{n²-n}{2}$ pares independientes. Entonces sólo tenemos que volver a sumar las componentes diagonales independientes para obtener el número total de componentes independientes:
$\frac{n²-n}{2}+n=\frac{n²-n+2n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$
¡Voilà!
Si no te ha gustado cómo lo hemos contado, podemos contarlo de otra manera. Veamos cada fila de la matriz y contemos cuántos componentes independientes hay. Recuerda que sólo estamos contando los componentes diagonales y los que están a un lado de la diagonal. La primera fila tiene $n$ componentes independientes. La segunda fila tiene $n-1$ componentes independientes. Seguimos así hasta llegar a la $n^{th}$ fila que sólo tiene un componente independiente. Ahora sólo tenemos que sumarlos todos:
$1+2+3+\cdots+(n-1)+n = \frac{n(n+1)}{2}$
Si estás interesado en saber cómo se hizo esta suma, echa un vistazo al números del triángulo . 
Ahora, sobre esas matrices sin rastro. El rastrear es igual a la suma de todas las componentes diagonales de la matriz. Que una matriz no tenga traza significa que su traza es igual a cero. Pero eso significa que se puede reescribir una de las componentes diagonales en términos de las otras, ¡así que hemos perdido una componente independiente! Por tanto, el número de componentes independientes de una matriz simétrica sin traza será uno menos que el número de componentes independientes de una matriz simétrica, es decir
$\frac{n(n+1)}{2}-1=\frac{n^2+n-2}{2}=\frac{(n+2)(n-1)}{2}$
Espero que eso ayude.
Faq
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Yo $^1$ tomar un ejemplo de $SO(N)$ :
Considere $T^{ij}$ que contiene en total $N\times N = N^2$ objetos independientes $^2$ . Pero se puede demostrar que la simetría, la antisimetría y la traza de $T^{ij}$ se transforman en sí mismos, es decir, no se mezclan entre sí: $$\tag{def. trans. rule for each index}T^{ij}\rightarrow T^{'ij} = O^{il}O^{jm}T^{lm}$$ $$\tag{the symmetric part}S^{ij}\rightarrow S^{'ij} = O^{il}O^{jm}S^{lm}$$ $$\tag{the antisymmetric part}A^{ij}\rightarrow A^{'ij} = O^{il}O^{jm}A^{lm}$$ donde $S^{ij} = 1/2(T^{ij}+T^{ji})$ y $A^{ij} = 1/2(T^{ij}-T^{ji})$ .
Por último, el rastro $T:=\delta^{ij}T^{lm}$ se transforma en $$T\rightarrow T' = \delta^{ij}T^{'ij} = \delta^{ij}O^{il}O^{jm}T^{lm} = (O^T)^{li}\delta^{ij}O^{jm}T^{lm} = \delta^{lm}T^{lm} = T$$ donde utilizamos $O^TO=\mathbf{1}$ . Así, podemos definir el tensor simétrico sin trazas de $T^{ij}$ $$Q^{ij} := S^{ij}-\frac{1}{N}\delta^{ij}T$$ que contiene $\frac{1}{2}N(N+1)-1$ objetos.
En otras palabras, se puede dividir el $N^2$ objetos como
$$N\otimes N = [\frac{1}{2}N(N+1)-1]\oplus 1\oplus \frac{1}{2}N(N-1), $$ donde el $1$ proviene del rastro.
Para contar los objetos en los tensores simétricos y asimétricos basta con utilizar (dibujar un $N$ por $N$ y contar las entradas incluyendo la diagonal para la simétrica, pero no para la asimétrica):
$$\tag{for the symmetric part}\sum_{j=1}^{N} j = \frac{1}{2}N(N+1). $$ Mientras que para la parte asimétrica obtenemos $$\tag{for the antisymmetric part}\sum_{j=1}^{N} j - N= \frac{1}{2}N(N-1). $$ donde el $N$ proviene del $N$ ceros en la diagonal.
Ver también esta entrada del PSE .
$^1$ Descargo de responsabilidad: no soy matemático, por lo que lo que sigue puede contener errores y terminología equivocada. Siéntase libre de enseñarme/corregirme.
$^2$ Con el número de objetos contenidos en un tensor nos referimos a la dimensión de la representación.
$^3$ Gran parte de esto está tomado de "QFT in a nutshell" de A. Zee.
