He leído varias veces en la literatura la distinción que se hace entre las asignaciones Bernoulli y las asignaciones completamente aleatorias al asignar el tratamiento (1) frente al control (0) a las unidades de un estudio. Me preguntaba si alguien podría indicarme cómo distinguir entre ambas. ¿Cuál es la diferencia entre ambas? ¿Hay alguna relación con el muestreo multinomial? Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Imaginemos que tienes un grupo de $n$ personas y quieres separarlas entre los grupos de tratamiento y de control.
Ensayos de Bernoulli
En una asignación de Bernoulli, se considera a cada persona individualmente y se "lanza" una moneda con probabilidad $p$ para asignar el tratamiento a esa persona.
Por término medio, tendrá $np$ personas en el grupo de tratamiento, pero puede haber grupos muy desequilibrados por casualidad.
Por ejemplo, suponga que tiene $n = 20$ y cada uno tiene $p = 50\%$ posibilidad de recibir tratamiento. Por término medio, se obtendría $np = 10$ unidades tratadas. En la práctica, se podría obtener una muestra muy desequilibrada.
Veamos esto simulando 1000 asignaciones diferentes de bernoulli en R :
rm(list = ls())
set.seed(10)
n <- 20
hist(replicate(1000, sum(rbinom(n, 1, 0.5))),
main = "bernoulli assignment",
xlab = "number of treated",
col = "lightblue")
Obsérvese que a menudo se obtiene una distribución muy desigual entre los grupos de tratamiento y de control. Incluso podría tener la desgracia de tener cero unidades tratadas o cero unidades de control, lo que no le permitiría comparar nada.
Este esquema de aleatorización tiene $2^n$ posibles resultados, en nuestro ejemplo $2^{20} = 1,048,576$ Es decir, más de un millón de posibles vectores de asignación de tratamientos para sólo este grupo de 20 personas. Esto puede ser perjudicial para la precisión de su inferencia.
Experimento completamente aleatorio
Pero hay una manera de mantener la probabilidad de que un individuo sea tratado igual a $p$ mientras que asegurándose de que se obtiene un número determinado de unidades tratadas.
Volvamos a nuestro caso de $n = 20$ y suponga que quiere asegurarse $10$ de ellos reciben tratamiento y todos tienen las mismas posibilidades de ser tratados ( $p = 0.5$ ).
Para ello, imagine que etiqueta a cada individuo del 1 al 20, pone esas etiquetas en una caja y luego toma una muestra aleatoria de 10 etiquetas de la caja. En R que podrías hacer:
sample(1:20, 10)Esto le garantiza que siempre tendrá el tamaño de muestra que desea, manteniendo la misma probabilidad de que cada individuo reciba el tratamiento.
En comparación con los ensayos bernoulli, observe que este esquema de aleatorización sólo tiene
$$n \choose \frac{n}{2}$$
posibles resultados, en nuestro ejemplo, sólo 184.756 posibles vectores de asignación de tratamiento, mucho menos de 1 millón. Intuitivamente, puedes pensar que estás eliminando las muestras no informativas que te darían los ensayos de bernoulli.
