Demuestra que $A$ está totalmente acotado.

Question

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico y que $A\subseteq X$ .

Ejercicio: Demuestre que si toda cubierta abierta de $A$ tiene una subcubierta finita, entonces $A$ está totalmente acotado.

Lo sé:

Por cada tapa abierta $C = \bigcup\limits_{n\in \mathbb{N}}C_i$ , donde $C_i \subset A$ está abierto y $A \subseteq C$ existe una subcubierta abierta finita $S = \bigcup\limits_{i = 1}^{n}C_i$ , de tal manera que $A\subseteq S$ .

$A$ está totalmente acotado si para cada $\epsilon > 0$ existe un número finito de puntos $x_1, \,...,\,x_n \in X$ tal que $A\subseteq \bigcup\limits_{i = 1}^{n} B_\epsilon(x_i)$ .

Pregunta: ¿Cómo puedo demostrar que $A$ está totalmente acotado? Sé que una definición alternativa de la acotación total de A es que toda cubierta abierta de $A$ tiene una subcubierta finita. Sin embargo, necesito demostrar que $A$ está totalmente acotado utilizando la definición que di anteriormente..

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $\varepsilon > 0$ . Observe que $\{B(x, \varepsilon) : x \in A\}$ es una cubierta abierta de $A$ . Por lo tanto, existe su subcubierta finita $\{B(x_1, \varepsilon), \ldots, B(x_n, \varepsilon)\}$ para algunos $x_1, \ldots, x_n \in A$ .

Desde $\varepsilon$ era arbitraria, $A$ está totalmente acotado.